4神戸大学 2004年 数学 第4問解答・解説

(1) $t>0,\ k\geq 1$ より $0<e^{-kt}<1$ である。初項 $1$、公比 $e^{-kt}$ の無限等比級数だから、$$\displaystyle f_k(t)=\frac{1}{1-e^{-kt}}.$$　 (2) $t>0$ では $1-e^{-kt}>0$ である。また、$$\displaystyle \frac{d}{dt}\left(t+\frac{1}{k}\log(1-e^{-kt})\right)=1+\frac{e^{-kt}}{1-e^{-kt}}=\frac{1}{1-e^{-kt}}=f_k(t).$$したがって、$$\displaystyle F_k(x)=\left[t+\frac{1}{k}\log(1-e^{-kt})\right]_1^x=x-1+\frac{1}{k}\log\frac{1-e^{-kx}}{1-e^{-k}}.$$これは $x>0$ の全範囲で成り立ち、$x<1$ では積分の向きもこの式に含まれる。　 (3) $x>0$ を固定すると $e^{-kx}\to0$、$e^{-k}\to0$ だから、$$\displaystyle \frac{1-e^{-kx}}{1-e^{-k}}\longrightarrow1.$$よって対数項は $\displaystyle \frac{1}{k}\log\frac{1-e^{-kx}}{1-e^{-k}}\to0$ となり、$$\displaystyle \lim\limits _{k\to\infty}F_k(x)=x-1.$$