1神戸大学 2004年 数学 第1問解答・解説

(1)　 まず $AB$ を計算すると $$AB=\begin{pmatrix}0&a\\0&c\end{pmatrix}.$$ したがって $$ABC=\begin{pmatrix}0&a\\0&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}ar&as\\cr&cs\end{pmatrix}.$$

(2)　 順に積を計算すると $$BC=\begin{pmatrix}r&s\\0&0\end{pmatrix},\qquad BCA=\begin{pmatrix}ar+cs&br+ds\\0&0\end{pmatrix}.$$ よって $$BCAB=\begin{pmatrix}ar+cs&br+ds\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&ar+cs\\0&0\end{pmatrix}=(ar+cs)B.$$ したがって $k=ar+cs$ である。

(3)　 $M=ABC=\begin{pmatrix}ar&as\\cr&cs\end{pmatrix}$、$\lambda=ar+cs$ とおく。成分ごとに掛け算すると $$M^2=\begin{pmatrix} a^2r^2+acrs & a^2rs+acs^2\\ acr^2+c^2rs & acrs+c^2s^2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}ar\lambda&as\lambda\\cr\lambda&cs\lambda\end{pmatrix} =\lambda M.$$ したがって $M^1=M$ であり、$M^n=\lambda^{n-1}M$ と仮定すれば $$M^{n+1}=M^nM=\lambda^{n-1}M^2=\lambda^nM.$$ よって自然数 $n\ge1$ に対して $$(ABC)^n=(ar+cs)^{n-1}\begin{pmatrix}ar&as\\cr&cs\end{pmatrix}.$$ ここで $n=1$ のときは指数 $0$ の値を $1$ とするので、式は $M$ に一致する。