2北海道大学 2004年 数学 第2問解答・解説

行列の各成分を計算すると、$$XA-AX=\begin{pmatrix}cy-bz&2(bx-ay)\\2(az-cx)&bz-cy\end{pmatrix}.$$ したがって、$$\displaystyle (*)\quad\text{すなわち}\quad cy-bz=ka,\quad bx-ay=\frac{kb}{2},\quad az-cx=\frac{kc}{2}.$$ (1) $k=0$ のとき、$cy=bz$ より $\displaystyle \frac{y}{b}=\frac{z}{c}=:t$ とおける。また $bx=ay$ より $x=at$ である。よって $X=tA$ となる。 (2) $k\ne0$ とする。第2式から $\displaystyle x=\frac{ay}{b}+\frac{k}{2}$。これを第3式に代入すると $a(bz-cy)=kbc$ を得る。一方、第1式から $bz-cy=-ka$ なので、$-ka^2=kbc$。$k\ne0$ より $a^2+bc=0$ が必要である。直接計算すると $A^2=(a^2+bc)I$ だから、これは $A^2=O$ と同値である。 逆に $a^2+bc=0$ とする。$z=c$ とおくと、第1式から $\displaystyle y=b+\frac{ka}{c}$。第2式から $\displaystyle x=a+\frac{ka^2}{bc}+\frac{k}{2}=a-\frac{k}{2}$。このとき $\displaystyle az-cx=\frac{kc}{2}$ となり、第3式も満たす。したがって求める解は $\displaystyle X=\begin{pmatrix}a-\frac{k}{2}&b+\frac{ka}{c}\\c&-a+\frac{k}{2}\end{pmatrix}$ である。