3北海道大学 2004年 数学 第3問解答・解説

(1) $f(x)=e^x-a(x+2b)$ とおくと、$f''(x)=e^x>0$ である。$a=1$ のときは $f'(x)=e^x-1\geq0$ だから最小値は $f(0)=1-2b$ であり、条件は $2b\leq1$ となる。$a>1$ のときは $f'(x)=0$ となる点 $x=\ln a>0$ で最小となり、$f(\ln a)=a(1-\ln a-2b)$ だから条件は $\ln a+2b\leq1$ である。両場合を合わせると必要十分条件は $\ln a+2b\leq1$。さらに $b>0$ より $1\leq a<e$ である。

(2) 、固定した $b$ に対して積分値は $a$ が大きいほど小さくなる。条件から最大の $a$ は $a=e^{1-2b}$ であり、$a\geq1$ より $\displaystyle 0<b\leq\frac12$ である。このとき $$\displaystyle \frac{1}{ae^b}\int_0^1\frac{dx}{x+2b}=e^{b-1}\ln\left(1+\frac{1}{2b}\right)=F(b).$$ 微分すると $$\displaystyle F'(b)=e^{b-1}\left\{\ln\left(1+\frac{1}{2b}\right)-\frac{1}{b(1+2b)}\right\}.$$ $\displaystyle 0<b\leq\frac12$ では $\displaystyle t=\frac{1}{2b}>0$ として $\ln(1+t)<t$ を用いると $$\displaystyle \ln\left(1+\frac{1}{2b}\right)<\frac{1}{2b}\leq\frac{1}{b(1+2b)}.$$ したがって $F'(b)<0$ であり、最小値は最大の $\displaystyle b=\frac12$ で得られる。このとき $a=e^{1-2b}=1$ なので、最小値は $\displaystyle F(\frac12)=\frac{\ln 2}{\sqrt e}$ である。

関数の最小値からa,bの条件を決める。積分を計算し、まずa、次にbについて単調性を調べて最小値を求める。