5神戸大学 2011年 数学 第5問解答・解説

oindent (1) $f(x)=x-2\log x$ とおく。$x\ge 1$ において $$\displaystyle f'(x)=1-\frac{2}{x}=\frac{x-2}{x}.$$ したがって $1\le x<2$ では $f'(x)<0$、$x>2$ では $f'(x)>0$ であるから、$f$ は $x=2$ で最小値をとる。 $2.7<e$ より $2<e$ であり、対数関数の増加性から $\log 2<\log e=1$。ゆえに $$f(x)\ge f(2)=2-2\log 2>0.$$ したがって、すべての $x\ge1$ について $x>2\log x$ が成り立つ。

oindent (2) $n=1$ のとき、左辺は $(2\log 1)^1=0$、右辺は $e^0=1$ だから成り立つ。 $n\ge2$ のとき、(1) に $x=n$ を代入すると $2\log n<n$。両辺に正の数 $n$ を掛けて $$0<2n\log n<n^2$$ を得る。両辺は正で $n$ は正の整数なので、 $$(2n\log n)^n<(n^2)^n=n^{2n}=e^{2n\log n}.$$ よって主張が成り立つ。