神戸大学 2011年数学第4問解答・解説

数と式二次関数いろいろな式

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1問題

神戸大学2011年度第4問

$a$ は正の無理数で， $X=a^3+3a^2-14a+6$ ， $Y=a^2-2a$ を考えると， $X$ と $Y$ はともに有理数である。以下の問に答えよ。（配点30点）

(1) 整式 $x^3+3x^2-14x+6$ を整式 $x^2-2x$ で割ったときの商と余りを求めよ。

(2) $X$ と $Y$ の値を求めよ。

(3) $a$ の値を求めよ。ただし，素数の平方根は無理数であることを用いてよい。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$(1)\quad$ 商 x+5, 余り -4x+6.
$(2)\quad X=26,\space{}Y=4.$
$(3)\quad a=1+\sqrt5.$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

(1) $x^3+3x^2-14x+6=(x^2-2x)(x+5)-4x+6.$ よって商は $\boxed{x+5}$ 、余りは $\boxed{-4x+6}$ 。

(2) この式に $x=a$ を代入すると $X=(a+5)Y-4a+6=a(Y-4)+5Y+6,$ 従って $a(Y-4)=X-5Y-6$ 。 $X,Y$ は有理数なので、右辺と $Y-4$ は有理数である。もし $Y\ne4$ なら $a=(X-5Y-6)/(Y-4)$ も有理数となり、条件に反する。ゆえに $Y=4$ 。これを関係式に戻すと $X=5\cdot4+6=26$ 。

(3) $Y=4$ から $a^2-2a=4,\qquad (a-1)^2=5.$ 従って $a=1\pm\sqrt5$ 。 $a>0$ より $\boxed{a=1+\sqrt5}.$

この問題で使う考え方

実数と無理数
二次方程式とグラフ
多項式の除法

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