1神戸大学 2011年 数学 第1問解答・解説

(1) 左辺を展開し、$i^2=-1$ を使うと $$\begin{aligned} (\cos\alpha+i\sin\alpha)(\cos\beta+i\sin\beta) &=(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)\\ &\quad+i(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)\\ &=\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta), \end{aligned}$$ となる。最後は加法定理による。

(2) $\displaystyle \omega=\cos\frac{2\pi}{n}+i\sin\frac{2\pi}{n}$ とおく。(1)より $$\displaystyle z\omega=\sum\limits _{k=1}^{n}\left(\cos\frac{2\pi(k+1)}{n}+i\sin\frac{2\pi(k+1)}{n}\right) =\sum\limits _{j=2}^{n+1}\left(\cos\frac{2\pi j}{n}+i\sin\frac{2\pi j}{n}\right).$$ $j=2,\ldots,n$ の項は $z$ の対応する項であり、最後の $j=n+1$ の項は $2\pi$ 周期性により $j=1$ の項と等しい。$n=1$ では中間範囲 $j=2,\ldots,n$ は空だが、同じ周期性で結論は成立する。従って $z\omega=z$。

(3) $n\ge2$ なら $0<2\pi/n\le\pi$ なので $\omega\ne1$。(2)から $$z(\omega-1)=0$$ となり、複素数の積の性質から $z=0$。実部と虚部を比較して $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}\cos\frac{2\pi k}{n}=0,\qquad \sum\limits _{k=1}^{n}\sin\frac{2\pi k}{n}=0.$$