神戸大学 2011年数学第2問解答・解説

数と式図形と方程式

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1問題

神戸大学2011年度第2問

以下の問に答えよ。（配点30点）

(1) $t$ を正の実数とするとき， $|x|+|y|=t$ の表す $xy$ 平面上の図形を図示せよ。

(2) $a$ を $a\geq 0$ をみたす実数とする。 $x,y$ が連立不等式 $\begin{cases} ax+(2-a)y\geq 2,\\ y\geq 0 \end{cases}$ をみたすとき， $|x|+|y|$ のとりうる値の最小値 $m$ を， $a$ を用いた式で表せ。

(3) $a$ が $a\geq 0$ の範囲を動くとき，(2) で求めた $m$ の最大値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

L1ノルムと制約の最大係数を比較し、境界で下界を達成させる。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\quad |x|+|y|=t$ は頂点 (t,0),(0,t),(-t,0),(0,-t) を結ぶひし形の周。 $\quad$ (2) $\displaystyle \quad m=\begin{cases}\dfrac2{2-a}&(0\le a\le1),\\[2pt]\dfrac2a&(a\ge1).\end{cases}\quad$ (3) $\displaystyle \quad \max m=2\space{}(a=1).$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

(1)　 $t>0$ なので、 $|x|+|y|=t$ は座標軸との交点 $(t,0),(0,t),(-t,0),(0,-t)$ を順に結ぶひし形の周である。

(2)　 $\displaystyle M=\max\{a,2-a\}$ とおく。 $a\ge0$ 、 $y\ge0$ より $ax+(2-a)y\le a|x|+(2-a)y\le M(|x|+y).$ 制約を満たす点では $2\le ax+(2-a)y$ だから、 $|x|+y\ge2/M$ である。 $0\le a\le1$ なら $M=2-a$ であり、 $(x,y)=(0,2/(2-a))$ は制約を等号で満たしてノルムも $2/(2-a)$ となる。 $a\ge1$ なら $M=a$ であり、 $(x,y)=(2/a,0)$ は制約を等号で満たしてノルムも $2/a$ となる。したがって下界は達成され、 $m=\begin{cases}2/(2-a)&(0\le a\le1),\\2/a&(a\ge1).\end{cases}$ $a=1$ では両式が $2$ で一致する。

(3)　 $0\le a\le1$ では分母 $2-a$ が減少するので $2/(2-a)$ は増加し、 $a\ge1$ では $2/a$ は減少する。よって最大値は両者の接点 $a=1$ でとり、その値は $2$ である。

この問題で使う考え方

一次不等式
等式・不等式の証明
不等式の表す領域

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