2熊本大学 2017年 数学 第2問解答・解説

$\text{(問1)}\quad \alpha=-i,\quad \gamma-\alpha=s+(t+1)i=:u.$ $$\overrightarrow{AB}=(2,-1),\qquad \overrightarrow{AC}=(s,t+1).$$ 座標ベクトル $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ の積差 $x_1y_2-y_1x_2$ は，二ベクトルが作る平行四辺形の符号付き面積であり，正負が向きを表す。したがって $$\det(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB})=s(-1)-(t+1)2=-s-2(t+1)<0.$$ 点 $B$ は有向直線 $AC$ の負側にある。一方， $$\displaystyle \frac{1+i\sqrt3}{2}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}$$ はベクトル $\overrightarrow{AC}$ を反時計回りに $60^\circ$ 回転させるので， $$\displaystyle \det\left((x,y),\left(\frac{x-\sqrt3y}{2},\frac{\sqrt3x+y}{2}\right)\right) =\frac{\sqrt3}{2}(x^2+y^2)>0\qquad(x=s,\ y=t+1).$$ よって，条件を満たす頂点 $D$ は $$\displaystyle z=\alpha+\frac{1+i\sqrt3}{2}(\gamma-\alpha) =-i+\frac{1+i\sqrt3}{2}\{s+(t+1)i\} =\frac{s-\sqrt3(t+1)}2+\frac{\sqrt3s+t-1}{2}i.$$

$$\text{(問2)}\quad v=\beta-\alpha=2-i,\qquad w=\gamma-\alpha=s+(t+1)i$$ とおく。与式は $$4v^2+w^2-2vw=0 \quad\text{すなわち}\quad (w-v)^2+3v^2=0 \quad\text{すなわち}\quad w=v(1\pm i\sqrt3)$$ と変形できる。各場合を計算すると $$w=(2+\sqrt3)+(2\sqrt3-1)i \quad\text{または}\quad w=(2-\sqrt3)-(2\sqrt3+1)i.$$ しかし $\operatorname{Im}w=t+1>1$ だから，後者は不適。前者から $$s=2+\sqrt3,\qquad t=2\sqrt3-2,$$ したがって $$\gamma=s+ti=(2+\sqrt3)+(2\sqrt3-2)i.$$ 問1の式に代入して $$\displaystyle z=-i+\frac{1+i\sqrt3}{2}(2-i)(1+i\sqrt3) =(\sqrt3-2)+2\sqrt3 i.$$

$$\text{(問3)}\quad A=(0,-1),\quad B=(2,-2),\quad C=(2+\sqrt3,2\sqrt3-2),\quad D=(\sqrt3-2,2\sqrt3)$$ と座標表示する。また $$u=\overrightarrow{AC}=(2+\sqrt3,2\sqrt3-1),\qquad p=\overrightarrow{BD}=(\sqrt3-4,2\sqrt3+2)$$ とおく。二方向の積差を成分で計算すると $$\det(u,p)=(2+\sqrt3)(2\sqrt3+2)-(2\sqrt3-1)(\sqrt3-4)=15\sqrt3\ne0.$$ よって $u,p$ は平行でなく，直線 $AC$ と $BD$ はただ一つの点で交わる。$\displaystyle F=A+\frac13u=B+\frac13p$ の両辺の座標はともに $\displaystyle \bigl(\frac{2+\sqrt3}{3},\frac{2\sqrt3-4}{3}\bigr)$ だから，これが交点 $F$ である。したがって $$\displaystyle \overrightarrow{FC}=\frac23u,\qquad \overrightarrow{FD}=\frac23p.$$ さらに $$u\cdot p=5,\qquad |u|^2=20,\qquad |p|^2=35.$$ よって内積による角度の公式から $$\displaystyle \cos\theta=\frac{\overrightarrow{FD}\cdot\overrightarrow{FC}} {|\overrightarrow{FD}|\,|\overrightarrow{FC}|} =\frac{u\cdot p}{|u|\,|p|} =\frac5{\sqrt{20\cdot35}}=\frac1{2\sqrt7}.$$