1日本大学 2019年 数学 第1問解答・解説

問題[1]

(1)

まず $$(\sqrt3-\sqrt2)^2(5+2\sqrt6)=(5-2\sqrt6)(5+2\sqrt6)=25-24=1.$$ また、分母を有理化すると $$\displaystyle \frac{5+3\sqrt3}{7+4\sqrt3}=(5+3\sqrt3)(7-4\sqrt3)=-1+\sqrt3$$ である。したがって波括弧内は $2+(-1+\sqrt3)=1+\sqrt3$ だから、求める値は $$(1+\sqrt3)^2=4+2\sqrt3.$$ よって空欄は順に $4,2,3$。

(2)

$u=x^2+2x$ とおくと $$(x-2)(x+4)=u-8,\qquad (x-1)(x+3)=u-3.$$ ゆえに $$(u-8)(u-3)=36\text{、すなわち } (u-12)(u+1)=0.$$ $u=12$ のとき $x^2+2x-12=0$ より $x=-1\pm\sqrt{13}$、$u=-1$ のとき $(x+1)^2=0$ より $x=-1$。したがって解は $$x=-1,\quad -1\pm\sqrt{13}.$$

(3)

白玉2個、赤玉1個の選び方は $\displaystyle \binom82\binom41=112$ 通り、3個の選び方全体は $\displaystyle \binom{12}3=220$ 通りである。よって確率は $$\displaystyle \frac{112}{220}=\frac{28}{55}.$$

(4)

対数の真数条件から $-4<x<10$。底 $1/10$ の対数は減少関数なので $$\log_{1/10}(x+4)=-\log_{10}(x+4)$$ であり、不等式は $$\log_{10}\bigl((x+4)(10-x)\bigr)\ge 0$$ と同値である。したがって $(x+4)(10-x)\ge1$、すなわち $$x^2-6x-39\le0.$$ 方程式 $x^2-6x-39=0$ の解は $x=3\pm4\sqrt3$。両端は真数条件の範囲内にあるから $$3-4\sqrt3\le x\le3+4\sqrt3.$$