4日本大学 2019年 数学 第4問解答・解説

問題[4]

(1)

$u>1$ における曲線上の点を $(u,1/\sqrt{u-1})$ とし、$z=\sqrt{u-1}>0$ とおく。接線の傾きは $$\displaystyle a=-\frac{1}{2z^3}.$$ 接線が $(3,0)$ を通る条件は $$\displaystyle -\frac1z=-\frac{3-u}{2z^3},\qquad u=1+z^2$$ だから、$2z^2=2-z^2$、すなわち $z^2=2/3$、$u=5/3$。従って $$\displaystyle a=-\frac{3\sqrt6}{8},\qquad b=-3a=\frac{9\sqrt6}{8}.$$

(2)

交点では $1<x<3$。$v=\sqrt{x-1}>0$ とおくと $x=v^2+1$ であり、交点条件は $$\displaystyle 2-v^2=\frac1v\quad\text{すなわち}\quad (v-1)(v^2+v-1)=0.$$ 許される解は $v=1$ と $v=(\sqrt5-1)/2$。したがって交点は $$\displaystyle (2,1),\qquad \left(\frac{5-\sqrt5}{2},\frac{1+\sqrt5}{2}\right).$$

(3)

2交点間では直線 $l$ が曲線 $C$ の上にある（例えば $x=3/2$ でその差は正）。従って面積は $$\displaystyle \int_{(5-\sqrt5)/2}^{2}\left(-x+3-\frac1{\sqrt{x-1}}\right)dx =\left[-\frac{x^2}{2}+3x-2\sqrt{x-1}\right]_{(5-\sqrt5)/2}^{2} =\frac{5\sqrt5-11}{4}.$$