3熊本大学 2019年 数学 第3問解答・解説

曲線を表す関数を $$\displaystyle f(x)=x\sin 3x+3x^2\qquad (0\leq x\leq \tfrac{\pi}{2})$$ とおくと、 $$f'(x)=\sin 3x+3x\cos 3x+6x$$ である。接点の座標は $(a,f(a))$ であり、接線が原点を通る条件は $$f(a)-af'(a)=0$$ である。したがって $$a\sin 3a+3a^2-a(\sin 3a+3a\cos 3a+6a)=-3a^2(1+\cos 3a)=0.$$ $a>0$ より $\cos 3a=-1$。また $\displaystyle 0<3a<\tfrac{3\pi}{2}$ だから $3a=\pi$、よって $$\displaystyle a=\frac{\pi}{3}.$$ このとき $f'(a)=\pi$ なので、直線 $\ell$ は $y=\pi x$ である。

共有点の $x$ 座標は $$x\sin 3x+3x^2=\pi x\quad\text{すなわち}\quad x(\sin 3x+3x-\pi)=0$$ を満たす。$x=0$ は解である。さらに $g(x)=\sin 3x+3x$ とおくと $$g'(x)=3(1+\cos 3x)\geq 0$$ であり、この区間で $g'(x)=0$ となるのは $x=\pi/3$ のみだから、$g$ は区間全体で異なる $x$ に対して同じ値をとらずに増加する。$g(\pi/3)=\pi$ より、$g(x)=\pi$ の解は $x=\pi/3$ だけである。したがって共有点は $$\displaystyle (0,0),\qquad \left(\frac{\pi}{3},f\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)=\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi^2}{3}\right).$$

$0\leq x<\pi/3$ では $g(x)<\pi$ なので $f(x)-\pi x=x(g(x)-\pi)<0$ （$x=0$ では等号）であり、直線が曲線の上側にある。よって求める面積 $S$ は $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_0^{\pi/3}\{\pi x-(x\sin 3x+3x^2)\}\,dx\\ &=\frac{\pi^3}{18}-\left[-\frac{x\cos 3x}{3}+\frac{\sin 3x}{9}\right]_0^{\pi/3}-\frac{\pi^3}{27}\\ &=\frac{\pi^3}{18}-\frac{\pi}{9}-\frac{\pi^3}{27}\\ &=\frac{\pi(\pi^2-6)}{54}. \end{aligned}$$ ここで $\pi^2>6$ だから面積は正である。