2熊本大学 2019年 数学 第2問解答・解説

直線$\ell$と$m$の傾きはそれぞれ$a,b$である。両直線は直交するから$ab=-1$であり、$a\ne0$、$b=-1/a$となる。

(問1) 交点$P=(x,y)$について、二つの直線の式を等しくすると $$(a-b)x=a+3b+2.$$ したがって $$\displaystyle x=\frac{a+2+3b}{a-b}=\frac{a^2+2a-3}{a^2+1},\qquad y=ax-a-2=\frac{-4a-2}{a^2+1}.$$ ここで $$\displaystyle u=\frac{a^2-1}{a^2+1},\qquad v=\frac{2a}{a^2+1}$$ とおけば$u^2+v^2=1$であり、上の座標式から$x+1=2u+v$、$y+1=u-2v$を得る。よって $$(x+1)^2+(y+1)^2=(2u+v)^2+(u-2v)^2=5(u^2+v^2)=5.$$ また、実数$a$が有限値をとるとき$(u,v)=(1,0)$にはならず、$a\ne0$より$(u,v)=(-1,0)$にもならない。逆に単位円上のこの二点以外では$a=v/(1-u)$が有限かつ非零の実数となるので、円周上の全ての対応点が得られる。二点を$(x,y)$に戻すと、それぞれ$(1,0)$、$(-3,-2)$である。したがって軌跡は中心$(-1,-1)$、半径$\sqrt5$の円周からこの二点を除いたもの。

(問2) 点$A(1,-2)$は直線$\ell$上にある。座標式から $$\displaystyle x-1=\frac{2(a-2)}{a^2+1},\qquad y+2=\frac{2a(a-2)}{a^2+1},$$ なので、距離の公式より $$\displaystyle AP=\sqrt{(x-1)^2+(y+2)^2}=\frac{2|a-2|}{\sqrt{a^2+1}}.$$ また、点$B(-3,0)$は直線$m$上にあり、 $$\displaystyle x+3=\frac{2a(2a+1)}{a^2+1},\qquad y=-\frac{2(2a+1)}{a^2+1}.$$ よって $$\displaystyle BP=\sqrt{(x+3)^2+y^2}=\frac{2|2a+1|}{\sqrt{a^2+1}}.$$

(問3) APは$\ell$上、BPは$m$上にあるため$AP\perp BP$。三角形の面積$S$は $$\displaystyle S=\frac12 AP\cdot BP=\frac{2|(a-2)(2a+1)|}{a^2+1}.$$ 分母は正であり、 $$5(a^2+1)-2(2a^2-3a-2)=(a+3)^2\ge0,\qquad 5(a^2+1)+2(2a^2-3a-2)=(3a-1)^2\ge0$$ だから$2|2a^2-3a-2|\le5(a^2+1)$。したがって$S\le5$。第一の等号は$a=-3$、第二の等号は$a=1/3$のとき成立し、どちらも$a\ne0$を満たす。ゆえに面積が最大となるのは$a=-3,1/3$のときである。