3藤田医科大学 2022年 数学 第3問解答・解説

(1) 増減と極値

$x=\cos\theta$ は $\theta$ が増えると $1$ から $0$ へ減少する。$0<\theta<\pi/2$ では $$\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=-\sin\theta,\qquad \frac{dy}{d\theta}=-(k-\theta)\sin\theta.$$ 従って、$y=f(x)$ と表したとき $$\displaystyle f'(x)=\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}=k-\theta =k-\arccos x.$$ また、$x=\cos\theta$ を微分すると $\displaystyle \dfrac{d\theta}{dx}=-\dfrac{1}{\sin\theta}=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ である。従って $$\displaystyle f''(x)=-\frac{d\theta}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}>0\qquad(0<x<1).$$ 臨界点は $\theta=k$、すなわち $x=\cos k$ である。$x<\cos k$ では $\theta>k$ なので $f'(x)<0$、$x>\cos k$ では $f'(x)>0$。よって $f$ は $0\le x\le\cos k$ で減少し、$\cos k\le x\le1$ で増加し、$0\le x\le1$ の範囲での最小値は $$f(\cos k)=\sin k.$$ 端点値は $f(0)=1,\ f(1)=k$。従って閉区間での最大値は $\displaystyle \max(1,k)$ であり、$k<1$ なら $x=0$、$k>1$ なら $x=1$、$k=1$ なら両端でとる。

(2) $k=\pi/3$ の概形

このとき最小点は $$\displaystyle (\cos k,\sin k)=\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right).$$ 端点は $(0,1)$、$(1,\pi/3)$ である。$f'(x)=\pi/3-\arccos x$ より $0\leq x<1/2$ で減少し、$1/2<x\leq1$ で増加する。また $f''(x)>0$ なので曲線は下に凸である。従って概形は、$(0,1)$ から減少して $(1/2,\sqrt3/2)$ で最小となり、そこから増加して $(1,\pi/3)$ に至る下に凸の曲線である。（下図は模式図で、縮尺は正確でない。）

<pre> y ↑ 1.05 | ● 1.00 |● __/ | __/ 0.87 | ________●_______/ +--------------------------------→ x 0 0.5 1 </pre>

(3) 原点を通る直線との交点数

$0\leq\theta<\pi/2$ では $x=\cos\theta>0$ であり、 $$\displaystyle \frac{y}{x}=\tan\theta+k-\theta.$$ 右辺を $q(\theta)$ とすると $$q'(\theta)=\tan^2\theta\geq0.$$ 実際、任意の $0\leq\theta_1<\theta_2<\pi/2$ で $$\displaystyle q(\theta_2)-q(\theta_1)=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\tan^2 u\,du>0$$ だから、$q$ は厳密に増加する。従って傾き $m$ をもつ直線 $y=mx$ と曲線 $C$ の交点は高々1つである。垂直な直線 $x=0$ については、曲線上で $x=0$ となるのは $\theta=\pi/2$ の一点だけである。よって原点を通るどの直線も $C$ と交わる点は1個以下。

(4) $S$ と $I$ の関係

媒介変数から $$f(x)=\sin\theta+(k-\theta)\cos\theta,\qquad f'(x)=k-\theta$$ なので $$g(x)=f(x)-xf'(x)=\sin\theta>0\qquad(0<x<1).$$ 従って $$\displaystyle \left(\frac{f(x)}{x}\right)' =\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2} =-\frac{g(x)}{x^2}<0.$$ よって $m_a=f(a)/a>m_b=f(b)/b$。領域は $0\leq x\leq a$ では2本の線分 $OA,OB$ の間、$a\leq x\leq b$ では曲線 $y=f(x)$ と線分 $OB$ の間にある。従って $$\displaystyle \begin{aligned} S &=\int_0^a(m_a-m_b)x\,dx +\int_a^b\{f(x)-m_bx\}\,dx\\ &=\int_a^b f(x)\,dx+\frac{a f(a)-b f(b)}{2}. \end{aligned}$$ 一方、部分積分より $$\displaystyle I=\int_a^b\{f(x)-xf'(x)\}\,dx =2\int_a^b f(x)\,dx-bf(b)+af(a).$$ 以上から $$\displaystyle \boxed{S=\frac{I}{2}}.$$

(5) $g(x)$ と面積

$\theta=\arccos x$ かつ $0\leq\theta\leq\pi/2$ なので $$g(x)=\sin\theta=\sqrt{1-x^2}.$$ 指定された $a,b$ に対して $$\displaystyle \begin{aligned} I &=\int_{1/2}^{\sqrt3/2}\sqrt{1-x^2}\,dx\\ &=\int_{\pi/6}^{\pi/3}\cos^2u\,du =\left[\frac u2+\frac{\sin2u}{4}\right]_{\pi/6}^{\pi/3} =\frac{\pi}{12}, \end{aligned}$$ ここでは $x=\sin u$ と置換した。従って (4) より $$\displaystyle \boxed{S=\frac{\pi}{24}}.$$

最終答案

$$\displaystyle \boxed{\text{(1) 減少 }0\le x\le\cos k,\ \text{増加 }\cos k\le x\le1,\ \min f=\sin k\text{（}x=\cos k\text{で）}}$$ $$\boxed{\text{(2) }(0,1)\text{から}(1/2,\sqrt3/2)\text{へ減少し、そこから}(1,\pi/3)\text{へ増加する下に凸の曲線}}$$ $$\boxed{\text{(3) 原点を通る任意の直線との交点は高々1個}},\qquad \boxed{\text{(4) }S=I/2},\qquad \boxed{\text{(5) }g(x)=\sqrt{1-x^2},\ S=\pi/24}.$$

**使用解法**：媒介変数による微分と増減、グラフが下に凸であること、傾き関数の単調性、面積の縦積分、部分積分、三角置換。