2藤田医科大学 2022年 数学 第2問解答・解説

原点から出る3辺の長さを正の整数 $a,b,c$ とする。辺はそれぞれ $x,y,z$ 軸上にある。各軸の正負いずれの向きも選べるので、符号の組は $2^3=8$ 通りである。座標軸ごとの辺長の割当てや符号が異なれば格子点頂点集合が異なるため、別々に数える。

(1) $(a,b,c)$ は $2,3,4$ の順列で、$3!=6$ 通り。各三つ組に8通りの符号があるから $6\cdot8=48$ 通り。

(2) $a+b+c=9$ の正整数解の個数は $$\displaystyle \binom{9-1}{3-1}=\binom82=28.$$ 符号を含む頂点集合は $28\cdot8=224$ 個。

(3) $abc=64=2^6$ より $a=2^i,b=2^j,c=2^k$ とおくと、$i+j+k=6$（$i,j,k\ge0$）。その個数は $\displaystyle \binom82=28$。符号を含めて $28\cdot8=224$ 個。

(4) $1800=2^3\cdot3^2\cdot5^2$。各素因数の指数を $a,b,c$ に割り当てる方法数はそれぞれ $\displaystyle \binom52,\binom42,\binom42$ なので、辺長三つ組は $10\cdot6\cdot6=360$ 個。符号を含めて $360\cdot8=2880$ 個。