I横浜市立大学 2022年 数学 第I問解答・解説

・ $n$ が異なれば $n^5+1$ も異なる。$n^5+1$ が3の倍数となる条件は、$n^5\equiv -1\equiv 2\pmod 3$ である。$n$ の3で割った余りが0,1,2のとき、$n^5$ の余りもそれぞれ0,1,2だから、これは $n\equiv 2\pmod 3$ と同値である。$1\le n\le 1000$ の範囲では $n=2,5,\ldots,998$ であり、その個数は $\displaystyle \dfrac{998-2}{3}+1=333$ 個である。

・ $\displaystyle \alpha^2=\dfrac{-1-\sqrt3 i}{2}$ なので $\alpha+\alpha^2=-1$、また $\alpha^3=1$ である。したがって $\alpha^{18}=1,\ \alpha^6=1,\ \alpha^4=\alpha$ となり、求める値は $1+1+\alpha+\alpha^2=2-1=1$ である。

・ 円の方程式を平方完成すると $(x-1)^2+(y-2)^2=5$ であり、中心は $C(1,2)$ である。直線 $y=x+2$ を代入すると $x^2+(x+2)^2-2x-4(x+2)=0$、すなわち $2(x-2)(x+1)=0$ だから、交点は $A(2,4), B(-1,1)$ である。よって $AB=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt2$。直線を $x-y+2=0$ と表すと、$C$ からこの直線までの距離は $\displaystyle \dfrac{|1-2+2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\dfrac{1}{\sqrt2}$ である。したがって三角形の面積は $\displaystyle \dfrac12\cdot 3\sqrt2\cdot\dfrac1{\sqrt2}=\dfrac32$ である。

・ 6人がとるカードの合計を $S$ 枚、よく混ぜた後の「あたり」の位置を上から $K$ 番目とする。各人の取る枚数は続けて山の上から取るので、引き分けとなるのは $K>S$ のときである。$S$ が決まれば、$K$ は1から53まで一様であるから、引き分ける条件付き確率は $\displaystyle \dfrac{53-S}{53}$ である。サイコロ1個の出る目の期待値は $\displaystyle \dfrac{1+2+3+4+5+6}{6}=\dfrac72$ なので、6人の合計について $\displaystyle E(S)=6\cdot\dfrac72=21$ である。よって引き分ける確率は $\displaystyle E\!\left(\dfrac{53-S}{53}\right)=\dfrac{53-E(S)}{53}=\dfrac{32}{53}$ である。