IV横浜市立大学 2022年 数学 第IV問解答・解説

(1) 部分積分により $$\displaystyle \int t\sin t\,dt=-t\cos t+\int\cos t\,dt =-t\cos t+\sin t+C.$$ 実際、この右辺を微分すると $t\sin t$ となる。

(2) $f(-t)=-f(t)$ なので、対称区間上で $t$ を $-t$ に置換すると $$\displaystyle \int_{-a}^{a}f(t)\,dt=\int_{-a}^{a}f(-t)\,dt =-\int_{-a}^{a}f(t)\,dt.$$ 従って $$\displaystyle \boxed{\int_{-a}^{a}f(t)\,dt=0}.$$

(3) $\displaystyle h(t)=\dfrac{g(t)-g(-t)}{2}$ とおけば $$\displaystyle h(-t)=\frac{g(-t)-g(t)}2=-h(t),$$ ゆえに $h$ は奇関数である。したがって $$\displaystyle \boxed{\int_{-a}^{a}\frac{g(t)-g(-t)}2\,dt=0}.$$

(4) $u=\pi^{\sin^3t}$ とおくと $u>0$ であり、$\sin^3(-t)=-\sin^3t$ から $$\displaystyle F(t)+F(-t) =t\sin t\left(\frac1{1+u}+\frac1{1+u^{-1}}\right) =t\sin t.$$ よって $$\displaystyle \begin{aligned} \int_{-\pi/3}^{\pi/3}\frac{t\sin t}{1+\pi^{\sin^3t}}\,dt &=\int_0^{\pi/3}\{F(t)+F(-t)\}\,dt\\ &=\int_0^{\pi/3}t\sin t\,dt\\ &=\left[-t\cos t+\sin t\right]_0^{\pi/3}\\ &=\boxed{\frac{3\sqrt3-\pi}{6}}. \end{aligned}$$

(1) は部分積分。(2) と (3) は奇関数の対称区間積分。(4) は被積分関数を t と −t で組にすると指数因子が相殺し、(1)の積分へ帰着する。