III横浜市立大学 2022年 数学 第III問解答・解説

$S_n=(a_n+\alpha)^2$, $\alpha>0$, $\displaystyle a_1=\dfrac14$, $\displaystyle |a_n|<\dfrac12$ とする。

(1) $\alpha$ の値

$S_1=a_1$ より $$\displaystyle \left(\frac14+\alpha\right)^2=\frac14.$$ $\alpha>0$ なので $\displaystyle \dfrac14+\alpha=\dfrac12$。従って $$\displaystyle \alpha=\frac14.$$

(2) $a_n>0$ のときの $a_{n+1}$

$S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$ を用い、$\displaystyle \alpha=\dfrac14$ を代入すると $$\displaystyle \left(a_{n+1}+\frac14\right)^2-\left(a_n+\frac14\right)^2=a_{n+1},$$ すなわち $$\displaystyle \left(a_{n+1}-\frac14\right)^2=\left(a_n+\frac14\right)^2.$$ よって $$\displaystyle a_{n+1}=a_n+\frac12\quad\text{または}\quad a_{n+1}=-a_n.$$ $a_n>0$ なら前者は $\displaystyle a_{n+1}>\dfrac12$ となり、仮定 $\displaystyle |a_{n+1}|<\dfrac12$ に反する。従って $$a_{n+1}=-a_n.$$

(3) $S_n$

$\displaystyle a_1=\dfrac14$ から (2) により $\displaystyle a_2=-\dfrac14$。一方、$\displaystyle a_n=-\dfrac14$ なら上の二乗の等式は $$\displaystyle \left(a_{n+1}-\frac14\right)^2=0$$ となり、$\displaystyle a_{n+1}=\dfrac14$。従って数列は $\displaystyle \dfrac14,-\dfrac14$ を交互に取る。これを $\displaystyle S_n=(a_n+\dfrac14)^2$ に代入すれば $$\displaystyle S_n=\begin{cases} \dfrac14 &(n\text{ が奇数}),\\[1mm] 0 &(n\text{ が偶数}). \end{cases}$$

$\displaystyle S_1=a_1=\frac14=\left(\frac14+\alpha\right)^2$でありα>0なので$\displaystyle \alpha=\frac14$。$S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$から$\displaystyle \left(a_{n+1}-\frac14\right)^2=\left(a_n+\frac14\right)^2$となるので、$\displaystyle a_{n+1}\text{ の候補は }a_n+\frac12\text{ と }-a_n$。$a_n>0$のとき前者は絶対値条件を破るため$a_{n+1}=-a_n$。始値$\displaystyle \frac14$から$\displaystyle a_2=-\frac14$であり、$\displaystyle a_n=-\frac14$なら同じ等式から$\displaystyle a_{n+1}=\frac14$。従って数列は$\displaystyle \pm\frac14$を交互に取り、$\displaystyle S_n=\left(a_n+\frac14\right)^2$から$\displaystyle \text{奇数 }n\text{ では }S_n=\frac14,\quad\text{偶数 }n\text{ では }S_n=0$。