横浜市立大学 2022年数学第II問解答・解説

三角関数二次関数

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1問題

横浜市立大学2022年度第II問

$0^{\circ}\leq\theta<360^{\circ}$ の範囲で $\theta$ についての関数 $f(\theta)=\cos 2\theta-2\sin\theta$ を考えるとき，以下の各問いに答えなさい。

(1) $t=\sin\theta$ とおくとき， $f(\theta)$ を $t$ で表しなさい。

(2) $f(\theta)$ の最大値を求めなさい。また，そのときの $\theta$ の値をすべて求めなさい。

(3) $C$ を整数とします。 $\theta$ についての方程式 $f(\theta)+C=0$ が異なる2つの解をもつような $C$ の値をすべて求めなさい。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\quad f(\theta)=1-2t^2-2t\quad$ 、 $\quad t=\sin\theta\quad$ 。 (2) 最大値 $\quad 3/2\quad$ 、 $\quad \theta=210^\circ,330^\circ\quad$ 。 (3) $\quad C=0,1,2\quad$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$t=\sin\theta$ とすれば $-1\le t\le1$ であり、 $\cos2\theta=1-2t^2$ より $f=1-2t^2-2t=-2(t+1/2)^2+3/2$ 。従って最大値は $\displaystyle \frac{3}{2}$ で、等号条件 $t=-1/2$ は範囲内で $\theta=210^\circ,330^\circ$ 。 (3) $f(\theta)+C=0$ は $1-2t^2-2t+C=0$ の実数解のうち $-1\le t\le1$ を満たす $t$ ごとに解を数える。C整数で可能な範囲は $-1\leq C\leq3$ 。 $C=-1$ では $t=0,-1$ から計3解、 $C=0,1,2$ では各1つの内点tが得られ、θ解は各2個、 $C=3$ では $t=1$ のみで1解。従って答えは $C=0,1,2$ 。

この問題で使う考え方

置換 t=sinθ
平方完成
解の個数の端点確認

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