2宮崎大学 2015年 数学 第2問解答・解説

$\text{ア}=2$、$\text{イ}=2$、$\text{ウ}=4a$。$0\leq a\leq1$では$0\leq b\leq2a^2$、$a\geq1$では$0\leq b\leq4a-2$（境界を含む）。

図の塗色部分が求める領域で、実線の境界を含む。矢印の先へ領域が続く。

$X=\sin x, Y=\cos x$とおく。$\cos2x=1−2X^2,\sin2x=2XY$を用いると、元の式は $$f(x)=(Y−2)(−2X^2+4aX−b).$$ 従って空欄は$2,2,4a$。$0\le x\le\pi/2$では$0\le Y\le1$なので$Y−2\ne0$。また$X$は$0\le X\le1$の範囲を動く。従って解が存在する条件は、$0\le X\le1$を満たすある$X$に対し $$b=−2X^2+4aX=2a^2−2(X−a)^2$$ となること。 $0\le a\le1$では頂点$X=a$が区間内にあり、$X=0$で値0、最大値は$2a^2$。連続性から$0\le b\le2a^2$。$a\ge1$では導関数$4(a−X)\ge0$なので区間上増加し、端点値は0と$4a−2$。従って$0\le b\le4a−2$。境界を含む領域である。