2名古屋大学 2014年 数学 第2問解答・解説

直線$PQ$の傾きは$(t+1)^2-t^2=2t+1$なので、その方程式は $$y=(2t+1)x-t(t+1).$$ ただし線分上にあるためには$t\le x\le t+1$が必要であり、これと$-1\le t\le0$を同時に課す。 従って$-1\le x\le1$であり、固定した$x$に対する$t$の範囲は $$\displaystyle \max(-1,x-1)\le t\le\min(0,x).$$ 線分の傾きだけでなく、この範囲を守って上下端を求める。

$-1\le x\le0$の場合

このとき$-1\le t\le x$であり、 $$\displaystyle y=-\left(t-x+\frac12\right)^2+x^2+\frac14$$ は$t$について上に凸の二次関数である。 最小値は端点のいずれかでとり、$t=-1$で$y=-x$、$t=x$で$y=x^2$となる。$x^2\le-x$より最小値は$x^2$。 最大値については、頂点の$t=x-1/2$が範囲内となるのは$-1/2\le x\le0$のときで、その値は$x^2+1/4$。 $-1\le x\le-1/2$では頂点が$t=-1$の左側にあるため、最大値は$t=-1$での$-x$である。

$0\le x\le1$の場合

このとき$x-1\le t\le0$。端点の値は$t=x-1$で$x^2$、$t=0$で$x$なので最小値は$x^2$。 頂点$t=x-1/2$が範囲内となる$0\le x\le1/2$では最大値は$x^2+1/4$、$1/2\le x\le1$では$t=0$で最大値$x$をとる。 $t$に関して連続なので、それぞれ最小値と最大値の間のすべての値をとる。 よって求める図形は $$\boxed{-1\le x\le1,\qquad x^2\le y\le H(x)},$$ $$H(x)=\begin{cases}-x&-1\le x\le-1/2,\\ x^2+1/4&-1/2\le x\le1/2,\\x&1/2\le x\le1. \end{cases}$$ すべての境界を含む。下図の着色部分であり、上下の境界が一致する点は$(-1,1),(1,1)$である。

左右対称なので面積は $$\displaystyle \begin{aligned} S&=2\left\{\int_0^{1/2}\frac14\,dx+\int_{1/2}^1(x-x^2)\,dx\right\}\\ &=2\left\{\frac18+\left[\frac{x^2}2-\frac{x^3}3\right]_{1/2}^1\right\} =2\left(\frac18+\frac1{12}\right)=\boxed{\frac5{12}}. \end{aligned}$$