1名古屋大学 2014年 数学 第1問解答・解説

ℓをz軸とし、球の中心Oのℓへの正射影を原点、Oからℓへの距離をdとする。(1) $\ell$上の球内の弦の長さは 2$\sqrt{1-d^2}$=$\sqrt3$ だから、d=$\displaystyle \frac12$。

(2) $z=z_0$で球を切った円板の半径を $\rho$=$\sqrt{1-z_0^2}$ とする。この円板の中心は回転軸から距離 $\displaystyle d=\frac12$ にある。これを$\ell$のまわりに回転すると、$\rho$$\ge$ d なら半径 d+$\rho$ の円板、$\rho$<d なら内半径 d-$\rho$、外半径 d+$\rho$ の円環ができる。境界は $\rho$=d より |z_0|=a=$\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}$。

したがって $$\displaystyle V=\pi\int_{-a}^{a}\left(\frac12+\sqrt{1-z^2}\right)^2\,dz +4\pi\int_a^1\sqrt{1-z^2}\,dz.$$ 第一項は $$\displaystyle \pi\left\{\frac a2+ \left(a\sqrt{1-a^2}+\sin^{-1}a\right) +\left(2a-\frac{2a^3}{3}\right)\right\} =\pi\left(\frac{\pi}{3}+\frac{5\sqrt3}{4}\right).$$ 第二項は z=$\sin$$\theta$（$\pi$/3$\le$$\theta$$\le$$\pi$/2）と置換して $$\displaystyle 4\pi\int_{\pi/3}^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta =4\pi\left(\frac{\pi}{12}-\frac{\sqrt3}{8}\right) =\frac{\pi^2}{3}-\frac{\sqrt3\pi}{2}.$$ よって $$\displaystyle V=\frac{2\pi^2}{3}+\frac{3\sqrt3\pi}{4}.$$