3名古屋大学 2014年 数学 第3問解答・解説

(1) $C_n,C_{n+1},C_{n+2}$ の半径をそれぞれ $a,b,c$ とし、中心を $A=(0,a), B=(d,b), D=(u,c)$ と置く。円 $C_{n+2}$ は二つの円の間にあるので $d,u,d-u>0$。外接と中心間距離から $$d^2=(a+b)^2-(a-b)^2=4ab,\quad u^2=(a+c)^2-(a-c)^2=4ac,\quad (d-u)^2=(b+c)^2-(b-c)^2=4bc.$$ よって $d=2\sqrt{ab}, u=2\sqrt{ac}, d-u=2\sqrt{bc}$。$d=u+(d-u)$ を使うと $$\displaystyle 2\sqrt{ab}=2\sqrt{ac}+2\sqrt{bc} \quad\text{より}\quad \frac1{\sqrt c}=\frac1{\sqrt a}+\frac1{\sqrt b},$$ となり、所要の漸化式を得る。

(2) $x_n=1/\sqrt{r_n}$ とおくと、(1)から $x_{n+2}=x_{n+1}+x_n$、また $x_1=x_2=1$。特性方程式 $z^2-z-1=0$ の根を $$\displaystyle \alpha=\frac{1+\sqrt5}{2},\qquad \beta=\frac{1-\sqrt5}{2}$$ とする。この漸化式と初期値を満たす式は $$\displaystyle x_n=\frac{\alpha^n-\beta^n}{\sqrt5} =\frac1{\sqrt5}\alpha^n-\frac1{\sqrt5}\beta^n.$$ 実際、$\alpha^2=\alpha+1,\beta^2=\beta+1$ から漸化式を満たし、$\alpha-\beta=\sqrt5,\alpha+\beta=1$ より $x_1=x_2=1$。従って $(s,t)=(1/\sqrt5,-1/\sqrt5)$ が一組である。

(3) $q=\beta/\alpha$ とおけば $|q|<1$ であり、 $$\displaystyle r_n=\frac1{x_n^2}=\frac{5\alpha^{-2n}}{(1-q^n)^2}.$$ 従って $$\displaystyle k=\alpha^{-2}=\left(\frac{\sqrt5-1}{2}\right)^2=\frac{3-\sqrt5}{2} \quad\text{より}\quad \frac{r_n}{k^n}=\frac5{(1-q^n)^2}\longrightarrow5.$$ この $k$ は唯一である。$k=0$ は比が定義されず、$k<0$ では符号が交互になる。$k>0$ では $r_n/k^n=5(\alpha^2k)^{-n}/(1-q^n)^2$ だから、正の有限な極限を持つには $\alpha^2k=1$ が必要である。