12奈良県立医科大学 2015年 数学 第12問解答・解説

Q12　正方形の面積の総和の極限

解答

$$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}T_n=2$$

計算過程

正方形 $A_n$ の一辺の長さを $a_n$、面積を $K_n$ とする。したがって $$K_n=a_n^2$$ である。円 $S_{n-1}$ は正方形 $A_{n-1}$ の内接円なので、その直径は $a_{n-1}$ である。円 $S_{n-1}$ に内接する正方形 $A_n$ の対角線は、この円の直径に等しい。正方形の面積は「対角線の長さの二乗の半分」だから、 $$\displaystyle K_n=\frac{a_{n-1}^2}{2}=\frac{K_{n-1}}{2}\qquad(n\ge2).$$ また $K_1=1$ である。よって $$\displaystyle K_n=\left(\frac12\right)^{n-1}\qquad(n\ge1).$$

したがって、最初の $n$ 個の面積の和は等比数列の和となり、 $$\displaystyle T_n=\sum\limits _{k=1}^{n}\left(\frac12\right)^{k-1} =\frac{1-(1/2)^n}{1-1/2} =2\left(1-\frac{1}{2^n}\right).$$ $n\to\infty$ のとき $2^{-n}\to0$ なので、 $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}T_n=2.$$

定義・場合分け・確認

各辺の長さは正で、各段階で円に内接する正方形の対角線が直径となる。したがって同じ面積比 $1/2$ がすべての $n\ge2$ で成り立ち、別の場合分けはない。初項は $1$、公比は $1/2$ であるため、有限和の式から極限値は $2$ と確認できる。

使用解法

正方形の対角線と面積の関係、等比数列の和とその極限。