3奈良県立医科大学 2015年 数学 第3問解答・解説

A_Q3 — MM-4bfc8dc70e4b-Q3

問題 関数 $f(x)$ が $$\displaystyle f(x)=5+2\int_0^1 e^{t-x}f(t)\,dt$$ を満たすとき、$f(x)$ を求める。

解答・計算過程 積分変数を $t$ とし、$x$ によらない定数 $$\displaystyle I=\int_0^1 e^t f(t)\,dt$$ をおく。$e^{t-x}=e^{-x}e^t$ だから、与式は $$f(x)=5+2e^{-x}I$$ となる。この式を $I$ の定義に代入すると $$\displaystyle \begin{aligned} I&=\int_0^1 e^t\bigl(5+2e^{-t}I\bigr)\,dt\\ &=5\int_0^1e^t\,dt+2I\int_0^1 1\,dt\\ &=5(e-1)+2I. \end{aligned}$$ よって $I=-5(e-1)$ であり、 $$\boxed{f(x)=5-10(e-1)e^{-x}}.$$

これは必要条件を得ただけでなく実際に解でもある。実際、この式を積分に代入すると $$\displaystyle \int_0^1e^{t-x}f(t)\,dt =e^{-x}\int_0^1\bigl(5e^t-10(e-1)\bigr)\,dt =-5(e-1)e^{-x},$$ したがって右辺は $5-10(e-1)e^{-x}$ となり、求めた式と一致する。従って解は上記の関数である。

使用解法・範囲 積分部分を $x$ によらない定数と置き、定積分の計算と代入で定数を決定した。指数関数の積分を用いる高校数学の範囲。