13奈良県立医科大学 2015年 数学 第13問解答・解説

Q13　重心と線分の内分

解答

点 $P$ は線分 $MF$ を $$MP:PF=1:2$$ に内分する。

計算過程

$$\overrightarrow{AB}=\mathbf{u},\qquad \overrightarrow{AD}=\mathbf{v},\qquad \overrightarrow{AE}=\mathbf{w}$$ とおき、点 $A$ を基準に表す。平行六面体の平行四辺形の性質より $$\overrightarrow{AB}=\mathbf{u},\quad \overrightarrow{AD}=\mathbf{v},\quad \overrightarrow{AE}=\mathbf{w},\quad \overrightarrow{AF}=\mathbf{u}+\mathbf{w}.$$

辺 $DE$ の中点を $N$ とする。点 $A$ からの位置ベクトルは $$\displaystyle \overrightarrow{AN}=\frac{\mathbf{v}+\mathbf{w}}{2}.$$ 三角形 $BDE$ の重心 $P$ は中線 $BN$ を頂点側から $2:1$ に分けるので、 $$\displaystyle \begin{aligned} \overrightarrow{AP} &=\overrightarrow{AB}+\frac23\overrightarrow{BN}\\ &=\mathbf{u}+\frac23\left(\frac{\mathbf{v}+\mathbf{w}}2-\mathbf{u}\right)\\ &=\frac{\mathbf{u}+\mathbf{v}+\mathbf{w}}3. \end{aligned}$$ また、$M$ は辺 $AD$ の中点であるから $$\displaystyle \overrightarrow{AM}=\frac{\mathbf{v}}2.$$ よって $$\displaystyle \overrightarrow{MP} =\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AM} =\frac{\mathbf{u}+\mathbf{w}}3-\frac{\mathbf{v}}6 =\frac13\left(\mathbf{u}+\mathbf{w}-\frac{\mathbf{v}}2\right),$$ 一方、 $$\displaystyle \overrightarrow{MF} =\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AM} =\mathbf{u}+\mathbf{w}-\frac{\mathbf{v}}2.$$ したがって $$\displaystyle \overrightarrow{MP}=\frac13\overrightarrow{MF}.$$ 係数 $1/3$ は $0$ と $1$ の間にあるので、$P$ は線分 $MF$ 上にあり、 $$\displaystyle MP:PF=\frac13:\frac23=1:2.$$

定義・場合分け・必要十分性

平行六面体の対応する平行四辺形の辺の平行・等長関係だけを用いた。得られたベクトル関係は $\displaystyle P=M+\frac13(F-M)$ を意味するため、同一直線上にあることと線分の内部にあることの両方が確認できる。係数は常に $1/3$ であり、場合分けはない。

使用解法

平面・空間ベクトルの位置ベクトルと、三角形の重心が中線を $2:1$ に内分する性質。