10奈良県立医科大学 2015年 数学 第10問解答・解説

まず $k$ を定める。被積分関数の多項式部分を展開すると $$(1-x)^2x^3=x^3-2x^4+x^5$$ なので $$\displaystyle \begin{aligned} 1&=k\int_0^1(x^3-2x^4+x^5)\,dx\\ &=k\left(\frac14-\frac25+\frac16\right) =k\cdot\frac1{60}. \end{aligned}$$ よって $k=60$ であり、特に $k>0$ である。

したがって $$f(x)=60(1-x)^2x^3.$$ $0<x<1$ の範囲で微分すると $$\begin{aligned} f'(x)&=60\left(3x^2(1-x)^2-2x^3(1-x)\right)\\ &=60x^2(1-x)(3-5x). \end{aligned}$$ $0<x<1$ では $60x^2(1-x)>0$ だから、$f'(x)>0$ は $\displaystyle 0<x<\frac35$ で、$f'(x)<0$ は $\displaystyle \frac35<x<1$ である。よって $f$ は $\displaystyle 0\le x\le\frac35$ で増加し、$\displaystyle \frac35\le x\le1$ で減少する。また、端点では $f(0)=f(1)=0$ である。したがって最大となるのは $\displaystyle x=\frac35$ のときである。

最終結果・使用解法

$$\displaystyle \boxed{x=\frac35}$$ 定積分から定数 $k$ を求めた後、導関数の符号で最大となる点を判定した。