4千葉大学 2020年 数学 第4問解答・解説

$f_1=x^2-2x+y^2,\ f_2=x^2-3x+y^2$ とおくと、 $$\displaystyle f_1=(x-1)^2+y^2-1,\qquad f_2=(x-\frac32)^2+y^2-\frac94=f_1-x.$$ $f_1\le0$ なら円板内なので $0\le x\le2$ であり、$f_2=f_1-x\le0$。したがって $f_1\le0$ の円板は $f_2\le0$ の円板に含まれる。積が $f_1f_2\le0$ となる領域は、後者から前者を除いた部分（境界を含む）である。

$0\le x\le2$ では外半径の2乗が $3x-x^2$、内半径の2乗が $2x-x^2$ だから、回転断面積は $\pi x$。一方、$2\le x\le3$ では内側の円板が存在せず、断面積は $\pi(3x-x^2)$。よって $1\le t\le2$ に対し $$\displaystyle \begin{aligned} V(t)&=\pi\int_t^2 x\,dx+\pi\int_2^{t+1}(3x-x^2)\,dx\\ &=\pi\left(-\frac{t^3}{3}+2t-\frac16\right). \end{aligned}$$ $V'(t)=\pi(2-t^2)$ より、$1\le t<\sqrt2$ で増加し、$\sqrt2<t\le2$ で減少する。したがって最大は $t=\sqrt2$ のときであり、 $$\displaystyle V(\sqrt2)=\pi\left(-\frac{2\sqrt2}{3}+2\sqrt2-\frac16\right) =\frac{\pi(8\sqrt2-1)}6.$$