8千葉大学 2020年 数学 第8問解答・解説

点 $B_n$ を表す複素数を $w_n$ とし、$d_n=w_n-z_n$ とおく。初期値は $z_1=0$, $w_0=\sqrt3$, $w_1=\sqrt3+i$ なので $d_1=\sqrt3+i$。中点条件から $$\displaystyle z_{n+1}=\frac{z_n+w_n}{2}=z_n+\frac{d_n}{2}.$$ 三角形 $A_1B_0B_1$ は $B_0$ を直角とする三角形で、$A_1B_0=\sqrt3$, $B_0B_1=1$。相似条件より、$B_{n+1}B_n$ は $A_{n+1}B_n$ に垂直で、その長さは $|d_n|/(2\sqrt3)$ である。よって $B_{n+1}$ の候補は $$\displaystyle w_n+\frac{i d_n}{2\sqrt3},\qquad w_n-\frac{i d_n}{2\sqrt3}.$$

どちらが条件の「反対側」にあるかを符号で確かめる。複素数 $u=x+iy$, $v=s+it$ に対し $$\operatorname{Im}(\overline u v)=xt-ys$$ は、方向 $u$ の直線に対する $v$ の側を符号で表す（直線の方程式を座標で書いたもの）。初めの段階では $$\operatorname{Im}\!\left(\overline{d_1}(w_0-z_1)\right)=-\sqrt3<0,$$ 一方、$w_1+i d_1/(2\sqrt3)$ を次点として選ぶと $$\displaystyle \operatorname{Im}\!\left(\overline{d_1}\left(w_1+\frac{i d_1}{2\sqrt3}-z_1\right)\right)=\frac{|d_1|^2}{2\sqrt3}>0.$$ したがって最初は正符号が反対側を与える。

帰納的に正符号を選ぶと $$\displaystyle d_{n+1}=w_{n+1}-z_{n+1} =d_n\left(\frac12+\frac{i}{2\sqrt3}\right)=q d_n, \qquad q=\frac{\sqrt3+i}{2\sqrt3}.$$ また中点条件より $w_{n-1}-z_n=d_{n-1}/2$ だから、次の段階で $B_{n-1}$ の側を表す符号は $$\displaystyle \operatorname{Im}\!\left(\overline{d_n}\frac{d_{n-1}}2\right) =-\frac{|d_{n-1}|^2}{4\sqrt3}<0,$$ 正符号候補の側は $$\displaystyle \operatorname{Im}\!\left(\overline{d_n}\left(d_n+\frac{i d_n}{2\sqrt3}\right)\right) =\frac{|d_n|^2}{2\sqrt3}>0.$$ よって常に正符号候補が指定された反対側にある。したがって上の漸化式が成り立つ。

$q=3^{-1/2}e^{i\pi/6}$, $d_1=2e^{i\pi/6}$ なので $$d_n=2\,3^{-(n-1)/2}e^{in\pi/6}.$$ また $z_1=0$ と $z_{k+1}-z_k=d_k/2$ から $$\displaystyle z_n=\frac12\sum\limits _{k=1}^{n-1}d_k =\frac{\sqrt3+3i}{2}(1-q^{n-1}).$$

(1) $d_2=qd_1=1/\sqrt3+i$ より $$\displaystyle z_3=\frac{d_1+d_2}{2}=\frac{2}{\sqrt3}+i.$$

(2) $\displaystyle q^5=-\frac1{18}+\frac{i}{18\sqrt3}$ なので $$\displaystyle z_6=\frac{\sqrt3+3i}{2}(1-q^5)=\frac{5\sqrt3}{9}+\frac{14}{9}i.$$

(3) $q^6=-1/27$ および $q^{-1}=(3-i\sqrt3)/2$ より $$\displaystyle q^{6m-1}=\left(-\frac1{27}\right)^m\frac{3-i\sqrt3}{2}.$$ これを $\displaystyle z_{6m}=\frac{\sqrt3+3i}{2}(1-q^{6m-1})$ に代入すると $$\displaystyle z_{6m}=\frac{\sqrt3+3i}{2}-\frac{3\sqrt3+3i}{2}\left(-\frac1{27}\right)^m.$$ したがって $$\displaystyle \operatorname{Re}(z_{6m})=\frac{\sqrt3}{2}\left(1-\frac{(-1)^m}{3^{3m-1}}\right),\qquad \operatorname{Im}(z_{6m})=\frac32\left(1-\frac{(-1)^m}{3^{3m}}\right).$$