5新潟大学 2026年 数学 第5問解答・解説

(1) ド・モアブルの定理より $\alpha^{11}=\beta^{11}=1$。また $\beta=\alpha^{-1}$ だから $\beta^9=\alpha^2$。答えは順に $2,0$。 (2) $B=\alpha^{10}+\alpha^8+\alpha^7+\alpha^6+\alpha^2$ なので、$\displaystyle A+B=\sum\limits _{k=1}^{10}\alpha^k=-1$。最後は $\alpha\ne1,\alpha^{11}=1$ と等比数列の和による。 (3) $S=\{1,3,4,5,9\}$ とすると $\displaystyle AB=\sum\limits _{a,b\in S}\alpha^{a-b}$。差を11で割った余りは、同じ指数同士の5組が0、残る20組では1から10が各2回となる。具体的に各行の差は $$\begin{array}{c|c}a&a-b\ (b\ne a)\\\hline1&9,8,7,3\\3&2,10,9,5\\4&3,1,10,6\\5&4,2,1,7\\9&8,6,5,4\end{array}.$$ 従って $AB=5+2(-1)=3$。 (4) $(A-B)^2=(A+B)^2-4AB=-11$。さらに $$\displaystyle \operatorname{Im}A=\sin\frac{2\pi}{11}+\sin\frac{5\pi}{11}+\sin\frac{3\pi}{11}+\sin\frac\pi{11}-\sin\frac{4\pi}{11}>0.$$ $0<4\pi/11<5\pi/11<\pi/2$ における正弦の増加と、残りの正の項から最後の不等式が分かる。$B=\overline A$ より答えは $A-B=i\sqrt{11}$。