2新潟大学 2026年 数学 第2問解答・解説

$$\displaystyle \begin{aligned} &\text{(1) }OP:PA=(1+\alpha):\alpha\text{ だから }AP=\alpha\,OA.\quad AQ:QB=\beta:(1-\beta)\text{ より、}Q\text{ から }OA\text{ への高さは }B\text{ から }OA\text{ への高さの }\beta\text{ 倍。}\\ &\therefore\quad \operatorname{Area}(\triangle AOQ)=\beta S,\qquad \operatorname{Area}(\triangle APQ)=\frac{AP}{OA}\operatorname{Area}(\triangle AOQ)=\alpha\beta S.\\[2mm] &\text{(2) 外分点 }P\text{ と内分点 }Q\text{ の位置ベクトルは}\quad \overrightarrow{OP}=(1+\alpha)\vec a,\qquad \overrightarrow{OQ}=(1-\beta)\vec a+\beta\vec b.\\[2mm] &\text{(3) }R=P+t(Q-P)\text{ とおくと}\quad \overrightarrow{OR}=\{1+\alpha-t(\alpha+\beta)\}\vec a+t\beta\vec b.\\ &R\text{ は辺 }OB\text{ 上にあるので }1+\alpha-t(\alpha+\beta)=0,\quad t=\frac{1+\alpha}{\alpha+\beta},\quad \overrightarrow{OR}=\lambda\vec b,\quad \lambda=\frac{\beta(1+\alpha)}{\alpha+\beta}.\\ &0<\lambda<1\text{（}\alpha>0,\ 0<\beta<1\text{）なので }R\text{ は辺 }OB\text{ 上にある。}\\[2mm] &\text{(4) }\operatorname{Area}(\triangle APQ)=\alpha\beta S,\qquad \operatorname{Area}(\triangle BQR)=(1-\beta)(1-\lambda)S.\\ &\text{等しいとき、}\quad \alpha\beta=(1-\beta)\left(1-\frac{\beta(1+\alpha)}{\alpha+\beta}\right) =\frac{\alpha(1-\beta)^2}{\alpha+\beta}.\\ &\alpha>0\text{ なので }\beta(\alpha+\beta)=(1-\beta)^2, \quad \alpha\beta+\beta^2=1-2\beta+\beta^2, \quad \beta=\frac{1}{\alpha+2}.\\ &\lambda=\frac{\beta(1+\alpha)}{\alpha+\beta} =\frac{1}{1+\alpha},\qquad \therefore\quad \overrightarrow{OR}=\frac{1}{1+\alpha}\vec b. \end{aligned}$$