3新潟大学 2026年 数学 第3問解答・解説

$\displaystyle S_1=a_1,\quad S_1=\frac23 a_1+\frac23$　$\text{より}$　 S_1=2. $$\displaystyle \begin{aligned} S_n&=\frac{2}{3}(S_n-S_{n-1})+2\cdot3^{n-2}\quad(n\ge2),\\ S_n&=2\cdot3^{n-1}-2S_{n-1},\\ S_2&=2\cdot3-2S_1=2,\qquad S_3=2\cdot3^2-2S_2=14. \end{aligned}$$ $S_{n+1}=2\cdot3^n-2S_n\quad(n\ge1)$. $$\displaystyle \begin{aligned} T_1&=-1,\\ T_{n+1}&=\frac{2\cdot3^n-2S_n}{(-2)^{n+1}}=T_n-\left(-\frac{3}{2}\right)^n,\\ T_n&=-1-\sum\limits _{k=1}^{n-1}\left(-\frac{3}{2}\right)^k =\frac{2}{5}\left(\left(-\frac{3}{2}\right)^n-1\right). \end{aligned}$$ $$\displaystyle \begin{aligned} S_n&=(-2)^nT_n=\frac{2}{5}\left(3^n-(-2)^n\right),\\ a_1&=S_1=2,\\ a_n&=S_n-S_{n-1}=\frac{4}{5}3^{n-1}+\frac{6}{5}(-2)^{n-1}\quad(n\ge2). \end{aligned}$$ 最後の式は a_1=2 も満たすので、すべての n$\ge$1 について成り立つ。