3北里大学 2023年 数学 第3問解答・解説

点 $A_n,B_n,C_n$ の位置ベクトルを、それぞれ同じ記号で表す。各点は対応する線分を端点から $2:1$ に内分するので、$n\geq 0$ に対して $$\displaystyle A_{n+1}=\frac{A_n+2B_n}{3},\qquad B_{n+1}=\frac{B_n+2C_n}{3},\qquad C_{n+1}=\frac{C_n+2A_n}{3}$$ である。

まず、$A_0=(0,0), B_0=(2,0), C_0=(1,\sqrt3)$ より $$\displaystyle B_1=\frac{B_0+2C_0}{3}=\left(\frac43,\frac{2\sqrt3}{3}\right),\qquad C_1=\frac{C_0+2A_0}{3}=\left(\frac13,\frac{\sqrt3}{3}\right).$$ したがって $$\displaystyle \vec p_1=B_1-B_0=\left(-\frac23,\frac{2\sqrt3}{3}\right).$$ さらに $$\displaystyle B_2=\frac{B_1+2C_1}{3}=\left(\frac23,\frac{4\sqrt3}{9}\right)$$ だから $$\displaystyle \vec p_2=B_2-B_1=\left(-\frac23,-\frac{2\sqrt3}{9}\right).$$

次に、点の漸化式から $$\displaystyle \vec p_{n+1}=B_{n+1}-B_n=\frac23(C_n-B_n)$$ である。よって $$\displaystyle \vec p_{n+2}=\frac23(C_{n+1}-B_{n+1}) =\frac29(2A_n-B_n-C_n).$$ ここで、点の漸化式を用いると $$\displaystyle \begin{aligned} 2A_n-B_n-C_n &=\frac23(A_{n-1}+2B_{n-1}) -\frac13(B_{n-1}+2C_{n-1}) -\frac13(C_{n-1}+2A_{n-1})\\ &=B_{n-1}-C_{n-1}. \end{aligned}$$ また、$\displaystyle \vec p_n=\frac23(C_{n-1}-B_{n-1})$ なので $$\displaystyle \vec p_{n+2}=\frac29\left(-\frac32\vec p_n\right)=-\frac13\vec p_n.$$

この関係から、奇数番目のベクトルは $$\displaystyle \vec p_{2k-1}=\left(-\frac13\right)^{k-1}\vec p_1$$ となる。したがって等比数列の和より $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}\vec p_{2k-1} =\frac{1-(-1/3)^n}{1-(-1/3)}\vec p_1 =\frac34\left(1-\left(-\frac13\right)^n\right)\vec p_1.$$

最後に、$\displaystyle B_{2n}=B_0+\sum\limits _{j=1}^{2n}\vec p_j$ であり、偶数番目についても $\vec p_{2k}=(-1/3)^{k-1}\vec p_2$ であるから $$\displaystyle \begin{aligned} B_{2n} &=B_0+\sum\limits _{k=1}^{n}\vec p_{2k-1}+\sum\limits _{k=1}^{n}\vec p_{2k}\\ &=B_0+\frac34\left(1-\left(-\frac13\right)^n\right)(\vec p_1+\vec p_2). \end{aligned}$$ ここで $$\displaystyle \frac34(\vec p_1+\vec p_2) =\frac34\left(-\frac43,\frac{4\sqrt3}{9}\right) =\left(-1,\frac{\sqrt3}{3}\right)$$ だから、求める座標は $$\displaystyle \boxed{B_{2n}=\left(1+\left(-\frac13\right)^n, \frac{\sqrt3}{3}\left(1-\left(-\frac13\right)^n\right)\right)}.$$