3筑波大学 2018年 数学 第3問解答・解説

(1) $\overrightarrow{OP_n}=u_n\vec a$、$\overrightarrow{OQ_n}=v_n\vec b$ とおく。正三角形より $|\vec a|=|\vec b|$、$\vec a\cdot\vec b=|\vec a|^2/2=|\vec b|^2/2$。$P_nQ_n\perp OA$ から $$(v_n\vec b-u_n\vec a)\cdot\vec a=0\quad\text{ならば}\quad v_n=2u_n.$$ また $Q_nP_{n+1}\perp OB$ から $$(u_{n+1}\vec a-v_n\vec b)\cdot\vec b=0\quad\text{ならば}\quad u_{n+1}=2v_n=4u_n.$$ $u_1=1$ なので $u_n=4^{n-1}$、$v_n=2\cdot4^{n-1}$。従って $$\overrightarrow{OP_n}=4^{n-1}\vec a,\qquad \overrightarrow{OQ_n}=2\cdot4^{n-1}\vec b.$$ (2) $N=4^n$、$M=2\cdot4^{n-1}$ とおくと $N=2M$ であり、$P_{n+1}$ と $Q_n$ の係数座標はそれぞれ $(N,0)$、$(0,M)$。線分上では $x/N+y/M=1$ だから $$x+2y=N=4^n,\qquad x=4^n-2y.$$ 線分上では $0\le y\le M$。点 $S$ に属するには係数 $x,y$ がともに整数であり、この範囲の整数 $y=0,1,\ldots,M$ ごとに $x=4^n-2y$ は整数となる。従って個数は $M+1=2\cdot4^{n-1}+1$。 (3) 三角形の周および内部は係数座標で $$x\ge0,\quad y\ge0,\quad x+2y\le N=2M$$ を満たす。各整数 $y=0,1,\ldots,M$ に対して $x$ は $0$ から $N-2y$ までの整数をとるので、点の個数は $$\displaystyle \sum\limits _{y=0}^{M}(N-2y+1)=\sum\limits _{j=0}^{M}(2j+1)=(M+1)^2=\left(2\cdot4^{n-1}+1\right)^2.$$