4筑波大学 2018年 数学 第4問解答・解説

(1) $0<x<\pi$では$\sin x>0$なので、共有点の式に$\sqrt2\sin x$を掛けてよい。 $$\displaystyle \frac1{\sqrt2\sin x}=\sqrt2(\sin x-\cos x) \quad\text{すなわち}\quad 1=2\sin^2x-2\sin x\cos x.$$ 二倍角の公式 $2\sin^2x=1-\cos2x$、$2\sin x\cos x=\sin2x$ を使うと $$\cos2x+\sin2x=0.$$ 範囲は$0<2x<2\pi$。ここで $\sin u+\cos u=0$ の解は $u=3π/4,7π/4$ なので $$\displaystyle x=\frac{3π}{8},\qquad \frac{7π}{8}.$$

(2) $a=3π/8,\ b=7π/8$ とする。$a<x<b$ では両曲線は正である。例えば$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$では $C_2=\sqrt2>C_1=1/\sqrt2>0$。共有点はa,bだけなので、この区間で $C_2$ が外側、$C_1$ が内側になる。x軸のまわりに回転した断面は外半径 $C_2$、内半径 $C_1$ の円環であるから $$\displaystyle V=π\int_a^b(C_2^2-C_1^2)\,dx =π\int_a^b\left(2(1-\sin2x)-\frac1{2\sin^2x}\right)dx.$$ 被積分関数の原始関数は $$\displaystyle 2x+\cos2x+\frac12\cot x$$ である。端点を代入すると $$\displaystyle 2(b-a)=π,\qquad \cos2b-\cos2a=\cos\frac{7π}{4}-\cos\frac{3π}{4}=\sqrt2.$$ また $b=a+π/2$ より $\cot b=-\tan a$。したがって $$\displaystyle \frac12(\cot b-\cot a) =-\frac12(\tan a+\cot a) =-\frac1{\sin2a} =-\sqrt2.$$ 積分の値は $π+\sqrt2-\sqrt2=π$ だから $$V=π\cdot π=π^2.$$