6筑波大学 2018年 数学 第6問解答・解説

$\alpha=u+vi,\ r=|\alpha|>1$ とする。条件(I)より $u\ne0,\ v\ne0$。複素数表示のベクトル内積は $\operatorname{Re}(\overline z_1z_2)$ である。

(1) 頂点 $O$ が直角なら $\operatorname{Re}(\bar\alpha\alpha^2)=r^2u=0$ となり $u=0$、条件(I)に反する。頂点 $B$ が直角なら $$\operatorname{Re}\bigl(\overline{-\alpha^2}(\alpha-\alpha^2)\bigr) =r^2(r^2-u)=0,$$ すなわち $u=r^2$ だが、$u\le r<r^2$ なので不可能。従って直角は頂点 $A$ にあり、 $$\operatorname{Re}\bigl(\overline{-\alpha}(\alpha^2-\alpha)\bigr) =r^2(1-u)=0.$$ よって $\angle OAB=\pi/2$。

(2) $u=1$ だから $\alpha=1+ti$。条件(I),(II)を合わせると $t\ne0$。従って $$S=\{1+ti:t\text{ は実数},\ t\ne0\},$$ 複素平面では直線 $\operatorname{Re}\alpha=1$ から $\alpha=1$ を除いた集合である。

(3) $\alpha=1+ti$ より $\alpha^2=(1-t^2)+2ti$。したがって $x=1-t^2,\ y=2t$、すなわち $$y^2=4(1-x),\qquad y\ne0.$$ 逆にこの条件なら $t=y/2\ne0$ を取れるので、軌跡は左向きの放物線から頂点 $(1,0)$ を除いたもの。