筑波大学 2018年数学第1問解答・解説

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1問題

筑波大学2018年度第1問

$\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ とする。放物線 $y = x^{2}$ 上に 3 点 O(0,0)，A( $\tan\theta$ , $\tan^{2}\theta$ )，B( $-\tan\theta$ , $\tan^{2}\theta$ ) をとる。三角形 OAB の内心の y 座標を p とし，外心の y 座標を q とする。また，正の実数 a に対して，直線 y = a と放物線 $y = x^{2}$ で囲まれた図形の面積を S(a) で表す。

(1) p, q を $\cos\theta$ を用いて表せ。

(2) $\displaystyle \frac{S(p)}{S(q)}$ が整数であるような $\cos\theta$ の値をすべて求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

対称性により内心・外心は $y$ 軸上にある。 $t=\tan\theta$ とすると三角形の面積は $t^3$ 、半周長は $t(1+\sec\theta)$ 。この比から内接円半径は $\sec\theta-1$ で、底辺の高さ $t^2$ から引くと $p=(1-\cos\theta)/\cos^2\theta$ 。外心は原点・頂点への距離を等しくして $q=1/(2\cos^2\theta)$ 。

水平線 $y=a$ と $y=x^2$ の間の面積は $S(a)=4a^{3/2}/3$ 。したがって面積比は $[2(1-c)]^{3/2}$ （ $c=\cos\theta$ 、 $0<c<1$ ）。値域から整数は1か2のみで、それぞれ $c=1/2$ と $c=1-1/\sqrt[3]2$ を得る。

この問題で使う考え方

三角形の対称性
内接円半径と面積
外心の等距離条件
三角比の置換
定積分による面積
正値範囲からの整数候補限定

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