2鹿児島大学 2010年 数学 第2問解答・解説

(1)(a) 円の接点における半径の方向ベクトルは $$\displaystyle \left(\frac{\sqrt3}{2},-\frac12\right)$$ である。接線の方向ベクトルを $(1,a)$ とすると、半径と接線は垂直だから $$\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}-\frac a2=0$$ となり、$a=\sqrt3$ を得る。接点を通るので $$\displaystyle -\frac12=\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}+b$$ より $b=-2$ である。

(1)(b) 放物線と直線の交点の $x$ 座標は $$x^2-\sqrt3x+c=\sqrt3x-2,\qquad x^2-2\sqrt3x+c+2=0$$ を満たす。接するため、この二次方程式の判別式は $0$ である。したがって $$(-2\sqrt3)^2-4(c+2)=0$$ より $c=1$。このとき二次方程式は $(x-\sqrt3)^2=0$ となるから、接点の $x$ 座標は $\sqrt3$ であり、直線上での $y$ 座標は $$\sqrt3\cdot\sqrt3-2=1$$ である。よって接点は $(\sqrt3,1)$ である。

(1)(c) $c=1$ のとき、放物線と直線の差は $$(x^2-\sqrt3x+1)-(\sqrt3x-2)=(x-\sqrt3)^2$$ である。図形は $x=0$ から接点の $x=\sqrt3$ までにあり、この区間では放物線が直線以上である。よって面積は $$\displaystyle \int_0^{\sqrt3}(x-\sqrt3)^2\,dx =\left[\frac{x^3}{3}-\sqrt3x^2+3x\right]_0^{\sqrt3} =\sqrt3$$ となる。

(2) $u=\cos\theta$ とおくと $-1\le u\le1$ であり、与式は $$5(1-u^2)+14u-13\ge0$$ すなわち $$(5u-4)(u-2)\le0$$ となる。したがって $4/5\le u\le2$ であり、$-1\le u\le1$ と合わせると $$\displaystyle \frac45\le\cos\theta\le1$$ である。$0\le\theta\le\pi$ では $\cos\theta$ は減少するので、条件を満たす $\theta$ の最大値は $\alpha=\arccos(4/5)$ である。よって $\cos\alpha=4/5$。また $\sin\alpha=3/5$ だから $\tan\alpha=3/4$ であり、 $$\displaystyle \tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} =\frac{2\cdot(3/4)}{1-(3/4)^2} =\frac{24}{7}$$ を得る。