1鹿児島大学 2010年 数学 第1問解答・解説

(1)(a)　 a=1 は自然数であるが、$\sqrt{a}=1$ は有理数である。したがって、この命題は偽であり、$a=1$ が反例である。

(1)(b)　 この命題は真である。$a>0$ であり、$\sqrt{a}$ が有理数であると仮定すると、$a=(\sqrt{a})^2$ も有理数となる。これは $a$ が無理数であることに反する。よって $\sqrt{a}$ は無理数である。

(2)　 4個のさいころの目を順に並べた結果は全部で $6^4=1296$ 通りあり、どれも同様に確からしい。和が7となる場合は、各さいころにまず1ずつ割り当てた後、残りの3を目に加える場合として数えられる。残りの3を、(i) 1個のさいころにすべて加える場合は4通り、(ii) 1個に2、別の1個に1を加える場合は $4\cdot3=12$ 通り、(iii) 3個に1ずつ加える場合は $\displaystyle \binom{4}{3}=4$ 通りである。したがって有利な場合は $4+12+4=20$ 通りであり、求める確率は $\displaystyle \dfrac{20}{1296}=\dfrac{5}{324}$ である。

(3)　 $\angle C=180^\circ-75^\circ-60^\circ=45^\circ$ である。$B=(0,0)$、辺 $BC$ を $x$ 軸とし、三角形がその上側にあるように座標をとると、$AB=1$、$\angle B=60^\circ$ より $\displaystyle A=(\frac12,\frac{\sqrt3}{2})$ となる。$AC$ の傾きは $-1$ なので、$\displaystyle C=(\frac{1+\sqrt3}{2},0)$ である。外接円の方程式を $x^2+y^2+ux+vy=0$ とおく。$B,C,A$ を代入すると $\displaystyle u=-\frac{1+\sqrt3}{2}$、$\displaystyle v=\frac{1-\sqrt3}{2}$ を得る。直線 $AP$ は $BC$ に垂直で $A$ を通るから、$\displaystyle x=\frac12$ である。この直線と外接円との交点の $y$ 座標は$$\displaystyle y^2+\frac{1-\sqrt3}{2}y-\frac{\sqrt3}{4}=0,\qquad (y-\frac{\sqrt3}{2})(y+\frac12)=0$$を満たす。一方は $A$ の座標なので、もう一方は $\displaystyle P=(\frac12,-\frac12)$ である。よって$$\displaystyle AP=\frac{\sqrt3}{2}-(-\frac12)=\frac{1+\sqrt3}{2}.$$