4東邦大学 2013年 数学 第4問解答・解説

図の順序に従い、$E,A,B$ および $E,D,C$ はそれぞれ一直線上にこの順に並ぶ。$EA=5,\ AB=4$ より $EB=9$ である。円の外部の点 $E$ についての方べきの定理から $$ED\cdot EC=EA\cdot EB=45.$$ $ED=d,\ EC=c$ とおくと $0<d<c$ なので $d<\sqrt{45}<c$。したがって $P$ が線分 $DC$ 上を動くとき、$t=EP$ は $d\le t\le c$ を動き、この範囲は $\sqrt{45}$ を含む。

$E=(0,0)$、直線 $AB$ を $x$ 軸、直線 $CD$ を $y$ 軸とする座標をとれば、$A=(5,0),\ B=(9,0),\ P=(0,t)$ と表せる。$\alpha=\angle APB$ とする。$PA,PB$ が水平方向となす角の大きさはそれぞれ $$\arctan(t/5),\qquad\arctan(t/9)$$ である。したがって $0<\alpha<90^\circ$ で $$\displaystyle \tan\alpha=\frac{t/5-t/9}{1+(t/5)(t/9)}=\frac{4t}{45+t^2}.$$ ここで $$45+t^2\geq 2\sqrt{45}\,t$$ であり、等号は $t=\sqrt{45}$ のときに成り立つ。よって $\tan\alpha$、したがって $\alpha$ は $EP=\sqrt{45}=3\sqrt5$ のとき最大となる。この値は $DC$ 上で実現するから、$\boxed{\text{ケ}}=3,\ \boxed{\text{コ}}=5$ である。