10東邦大学 2013年 数学 第10問解答・解説

十分小さい $h$ に対して $$\displaystyle A(h)=\frac{f(2+h)}{f(2-h)}=\sqrt{\frac{4+h}{4-h}},\qquad B(h)=\left(\frac{3-h}{3+h}\right)^3$$ とおく。$A(0)=B(0)=1$ なので、求める極限は $A'(0)-B'(0)$ である。 $$\displaystyle A'(h)=\frac{4}{(4-h)^2\sqrt{(4+h)/(4-h)}}, \qquad B'(h)=-\frac{18(3-h)^2}{(3+h)^4}.$$ したがって $A'(0)=1/4$、$B'(0)=-2$ であり、 $$\displaystyle \lim\limits _{h\to0}\frac{A(h)-B(h)}h=A'(0)-B'(0)=\frac14-(-2)=\frac94.$$ よって、$\boxed{\text{ネ}}=9,\ \boxed{\text{ノ}}=4$ である。