6東邦大学 2013年 数学 第6問解答・解説

分子が $1,3,5,7,\ldots$ と増えるごとに項をひとまとまりにすると、分子が $2n-1$ のまとまりには $$\displaystyle \frac{2n-1}{2n},\ \frac{2n-1}{2n-2},\ \ldots,\ \frac{2n-1}{2}$$ の $n$ 項が並ぶ。第 $n$ まとまりまでの項数は $$\displaystyle 1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2$$ である。$21\cdot22/2=231<250\leq253=22\cdot23/2$ より、第250項は第22まとまりの $250-231=19$ 番目である。したがって分子は $2\cdot22-1=43$、分母は $2\cdot22-2(19-1)=8$ となる。よって、第250項は $\boxed{43/8}$ である。