4山口大学 2013年 数学 第4問解答・解説

(1) 定義より、$$a_1=[\sqrt{1}]=1,\quad a_2=[\sqrt{2}]=1,\quad a_3=[\sqrt{3}]=1,\quad a_4=[\sqrt{4}]=2.$$

(2) $m=a_n=\lfloor\sqrt{n}\rfloor$とおく。すると$m$は自然数で、$m^2\leq n<(m+1)^2$である。各$k=1,2,\ldots,m-1$について、$k^2\leq i<(k+1)^2$を満たす整数iでは$a_i=k$であり、その個数は$(k+1)^2-k^2=2k+1$個である。また、$m^2\leq i\leq n$では$a_i=m$であり、その個数は$n-m^2+1$個である。したがって（$m=1$のとき最初の和は空和として）$$\displaystyle S_n=\sum\limits _{k=1}^{m-1}k(2k+1)+m(n-m^2+1).$$

ここで$$\displaystyle k(2k+1)=2k^2+k=\frac{2}{3}\bigl((k+1)^3-k^3\bigr)-k-\frac{2}{3}$$であり、立方差の和では連続する項が消去される。また、自然数の和を組にして足すと$$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{m-1}k=\frac{m(m-1)}{2},\qquad \sum\limits _{k=1}^{m-1}\bigl((k+1)^3-k^3\bigr)=m^3-1.$$よって$$\displaystyle \begin{aligned}\sum\limits _{k=1}^{m-1}k(2k+1)&=\frac{2}{3}(m^3-1)-\frac{m(m-1)}{2}-\frac{2}{3}(m-1)\\&=\frac{2}{3}m^3-\frac{1}{2}m^2-\frac{1}{6}m.\end{aligned}$$これを$S_n$の式に代入して整理すると$$\displaystyle \begin{aligned}S_n&=\frac{2}{3}m^3-\frac{1}{2}m^2-\frac{1}{6}m+m(n-m^2+1)\\&=mn-\frac{1}{3}m^3-\frac{1}{2}m^2+\frac{5}{6}m\\&=\left(n+\frac{5}{6}\right)m-\frac{1}{2}m^2-\frac{1}{3}m^3.\end{aligned}$$$m=a_n$であるから、求める等式が成り立つ。