防衛医科大学校 2022年数学第III問解答・解説

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1問題

防衛医科大学校2022年度第III問

実数 $x$ の関数 $\displaystyle f_n(x)=\displaystyle\sum\limits _{k=1}^{n}|x-k|$ （ $n=1,2,3,\ldots$ ）がある。関数 $f_3(x)$ の最小値は $\boxed{5}$ である。また、ある奇数 $m$ に対し、 $f_m(x)$ の最小値が $30$ であるとすると、このような $m$ は $\boxed{6}$ である。

解答番号5の選択肢： (1) $1$ 、(2) $2$ 、(3) $3$ 、(4) $4$ 、(5) $5$ 。

解答番号6の選択肢： (1) $7$ 、(2) $9$ 、(3) $11$ 、(4) $13$ 、(5) $15$ 。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

絶対値の和の折れ点と中央値を用いて最小値を求めた。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$[5]=2\space{}(2),\qquad [6]=m=11\space{}(3).$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$f_3(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|$ は、 $x\le1$ では $6-3x$ 、 $1\le x\le2$ では $4-x$ 、 $2\le x\le3$ では $x$ 、 $x\ge3$ では $3x-6$ である。最小値は $x=2$ のときの $2$ であり、[5]は選択肢2。

奇数 $m=2q+1$ とする。 $\displaystyle f_m(x)=\sum\limits _{k=1}^{m}|x-k|$ は中央値 $q+1$ で最小となる。そこでの値は左右の距離の和 $2(1+2+\cdots+q)=q(q+1)$ である。これが30なので $q(q+1)=30$ 、 $q=5$ 、 $m=11$ 。従って[6]は選択肢3。

この問題で使う考え方

実数と無理数
総和記号と数列の和

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