V防衛医科大学校 2022年 数学 第V問解答・解説

$\vec{OA}=\boldsymbol a,\ \vec{OB}=\boldsymbol b,\ \vec{OD}=\boldsymbol d$ とおく。半径1の円上の点なので $|\boldsymbol a|=|\boldsymbol b|=|\boldsymbol d|=1$ である。条件から $$24\boldsymbol a=-(7\boldsymbol b+25\boldsymbol d)$$ であり、両辺の長さを平方すると $$24^2=|7\boldsymbol b+25\boldsymbol d|^2=49+625+350\boldsymbol b\cdot\boldsymbol d.$$ よって $\displaystyle \boldsymbol b\cdot\boldsymbol d=-\frac7{25}$ となる。$\boldsymbol b+\boldsymbol d$ の方向を $x$ 軸にとると、$\displaystyle |\boldsymbol b+\boldsymbol d|^2=2+2\boldsymbol b\cdot\boldsymbol d=\frac{36}{25}$ だから、$\boldsymbol b,\boldsymbol d$ の $x$ 成分はいずれも $\displaystyle \frac35$、$y$ 成分は互いに反対で絶対値 $\displaystyle \frac45$ である。向きを選んで $$\displaystyle \boldsymbol b=\left(\frac35,\frac45\right),\qquad \boldsymbol d=\left(\frac35,-\frac45\right)$$ とする。このとき $$\displaystyle 7\boldsymbol b+25\boldsymbol d=\left(\frac{96}{5},-\frac{72}{5}\right)$$ なので、条件式より $$\displaystyle \boldsymbol a=\left(-\frac45,\frac35\right)$$ を得る。

$\displaystyle \overrightarrow{AB}=\boldsymbol b-\boldsymbol a=(\frac75,\frac15)$、$\displaystyle \overrightarrow{AD}=\boldsymbol d-\boldsymbol a=(\frac75,-\frac75)$ であるから $$\displaystyle \cos\alpha=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AB}|\,|\overrightarrow{AD}|} =\frac{42/25}{\sqrt2\cdot 7\sqrt2/5}=\frac35.$$ また、$\displaystyle \overrightarrow{BA}=(-\frac75,-\frac15)$、$\displaystyle \overrightarrow{BD}=(0,-\frac85)$ より $$\displaystyle \cos\beta=\frac{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{BA}|\,|\overrightarrow{BD}|} =\frac{8/25}{\sqrt2\cdot 8/5}=\frac1{5\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{10}.$$

$\vec{OC}=\boldsymbol c=(x,y)$ とおく。$BC=CD$ と $|\boldsymbol b|=|\boldsymbol d|=|\boldsymbol c|=1$ から $|\boldsymbol c-\boldsymbol b|^2=|\boldsymbol c-\boldsymbol d|^2$、従って $\boldsymbol c\cdot\boldsymbol b=\boldsymbol c\cdot\boldsymbol d$ である。上で定めた成分を代入すると $y=0$ となり、$|\boldsymbol c|=1$ より $C=(1,0)$ または $(-1,0)$。四角形の頂点の順序が $A,B,C,D$ なので、$C$ は $B,D$ のうち $A$ を含まない弧上にあり、$C=(1,0)$ である。

直線 $AB$ の傾きは $\displaystyle \frac17$ だから、その方程式は $$\displaystyle y-\frac35=\frac17\left(x+\frac45\right),\qquad x-7y+5=0.$$ 従って $C=(1,0)$ からこの直線までの距離は $$\displaystyle CH=\frac{|1-7\cdot0+5|}{\sqrt{1^2+(-7)^2}}=\frac6{\sqrt{50}}=\frac{3\sqrt2}{5}.$$ 以上より各欄は順に $3,5,2,1,0,3,2,5$ である。