防衛医科大学校 2022年数学第II問解答・解説

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1問題

防衛医科大学校2022年度第II問

2次方程式 $x^{2}+ax+b=0$ （ $a,b$ は実数の定数）の異なる2解 $\alpha,\beta$ が、ある実数の定数 $c$ を用いて $\displaystyle \alpha=\frac{\sqrt{c-1}+\sqrt{c+8}}{\sqrt{c-1}-\sqrt{c+2}},\qquad \beta=\frac{\sqrt{c-1}-\sqrt{c+8}}{\sqrt{c-1}+\sqrt{c+2}}$ と表されるとする。 $\alpha=-3$ のとき、 $a$ の値は $\boxed{3}$ であり、 $c$ の値は互いに素である自然数 $m,n$ を用いて $\displaystyle \frac{n}{m}$ と表すことができる。このとき、 $m$ と $n$ の和は $\boxed{4}$ となる。

解答番号3および4は、それぞれ次の選択肢から選ぶ。

解答番号3の選択肢： (1) $4$ 、(2) $5$ 、(3) $6$ 、(4) $7$ 、(5) $8$ 。

解答番号4の選択肢： (1) $17$ 、(2) $19$ 、(3) $21$ 、(4) $23$ 、(5) $25$ 。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

置換で根号を一つの非負変数にまとめ、二乗に伴う符号条件を確認して定数cを定め、解と係数の関係を使った。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle [3]=4\space{}(1),\qquad c=\frac{11}{8}=\frac{n}{m}\space{}(n=11,m=8),\quad [4]=m+n=19\space{}(2).$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

根号の条件から $c\ge1$ とする。 $u=\sqrt{c-1}$ とおくと $\sqrt{c+2}=\sqrt{u^2+3},\qquad \sqrt{c+8}=\sqrt{u^2+9}.$ $\alpha=-3$ を代入して整理すると $u+\sqrt{u^2+9}=-3\{u-\sqrt{u^2+3}\}, \quad 4u+\sqrt{u^2+9}=3\sqrt{u^2+3}.$ 両辺を平方して整理すると $9-4u^2=4u\sqrt{u^2+9}.$ 右辺は非負なのでこの式の両辺をもう一度平方してよく、 $\displaystyle (9-4u^2)^2=16u^2(u^2+9) \quad\text{より}\quad u^2=\frac38.$ 元の式に戻すと $u=\sqrt6/4$ 、 $\sqrt{c+2}=3\sqrt6/4$ 、 $\sqrt{c+8}=5\sqrt6/4$ であり、実際に $\alpha=-3$ 。従って $\displaystyle c=1+u^2=\frac{11}{8}.$ また $\displaystyle \beta=\frac{\sqrt{c-1}-\sqrt{c+8}}{\sqrt{c-1}+\sqrt{c+2}}=-1.$ よって二解の和は $-4$ であり、解と係数の関係 $\alpha+\beta=-a$ から $a=4$ （選択肢1）。さらに $c=n/m=11/8$ は既約だから $m+n=8+11=19$ （選択肢2）。

この問題で使う考え方

解と係数の関係

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