1富山大学 2026年 数学 第1問解答・解説

(1) $f(x)=(x-2)(x^2-x-1)$ と因数分解でき、根は$2$と$\displaystyle \frac{1\pm\sqrt5}{2}$。順序から$\displaystyle p=2,\quad q=\frac{1+\sqrt5}{2},\quad r=\frac{1-\sqrt5}{2}$。(2)(a) $a_1=A+B+C=3$、$a_2=2A+qB+rC=0$。$q^2=q+1,\quad r^2=r+1$より$a_3=4A+qB+rC+B+C=2A+B+C$。従って$a_3=2$と$a_1=3$から$A=-1,\ B+C=4$。$a_2$から$qB+rC=2$。$q-r=\sqrt5,\ 4r=2-2\sqrt5$より$\sqrt5B+4r=2$、従って$B=2,\ C=2$。(b) 十分性: $B=C$でこれらが整数なら$a_n=A2^{n-1}+B(q^{n-1}+r^{n-1})$。$S_m=q^m+r^m$は$S_0=2,\ S_1=1,\ S_{m+2}=S_{m+1}+S_m$（$q,r$は$t^2=t+1$を満たす）なので全て整数。必要性: $a_2$は整数かつ$A$は有理数であるから$qB+rC$は有理数。$\displaystyle qB+rC=\frac{B+C}{2}+\frac{\sqrt5(B-C)}{2}$で$B,C$は有理数、$\sqrt5$は無理数なので$B=C$。すると$a_1=A+2B,\ a_2=2A+B,\ a_3=4A+3B$。よって$B=a_3-2a_2,\ A=a_1-2B,\ C=B$はいずれも整数。