富山大学 2026年数学第2問解答・解説

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1問題

富山大学2026年度第2問

n を正の整数とし，各 n に対して，次を満たす連続関数 f_n(x) (0≦x≦π) を考える。 f_n(x)=α_n (x=0)，sin(nx)/sin(x) (0<x<π)，β_n (x=π)。また，I_n，J_n を次で定める。 I_n=∫_0^π f_n(x) dx，J_n=∫_0^π {f_n(x)}^2 dx。

(1) α_n，β_n をそれぞれ n を用いて表せ。

(2) すべての n について，I_{n+2}−I_n=0 が成り立つことを示せ。

(3) J_{n+1}−J_n を求めよ。

(4) J_n を n を用いて表せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$(1) α_n=n, β_n=(-1)^{n+1}n$ 。 $(2) I_{n+2}-I_n=0$ 。 $(3) J_{n+1}-J_n=π$ 。 $(4) J_n=nπ$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$\displaystyle \text{(1) }\lim\limits _{x\to0}\frac{\sin nx}{\sin x}=n.\quad x=\pi-y\text{ とおくと }\frac{\sin(n(\pi-y))}{\sin(\pi-y)}=(-1)^{n+1}\frac{\sin ny}{\sin y}\to(-1)^{n+1}n,\text{ よって }\alpha_n=n,\ \beta_n=(-1)^{n+1}n.\\\text{(2) }f_{n+2}(x)-f_n(x)=\frac{\sin((n+2)x)-\sin(nx)}{\sin x}=2\cos((n+1)x)\ (0<x<\pi).\text{ 両辺は }0\le x\le\pi\text{ で連続なので端点にも成り立ち，}\ I_{n+2}-I_n=2\int_0^\pi\cos((n+1)x)\,dx=\frac{2}{n+1}[\sin((n+1)x)]_0^\pi=0.\\\text{(3) }f_{n+1}-f_n=\frac{\cos((2n+1)x/2)}{\cos(x/2)},\quad f_{n+1}+f_n=\frac{\sin((2n+1)x/2)}{\sin(x/2)}\ (0<x<\pi),\text{ よって }f_{n+1}^2-f_n^2=\frac{\sin((2n+1)x)}{\sin x}=f_{2n+1}.\text{ したがって }J_{n+1}-J_n=I_{2n+1}=I_1=\pi,\text{ ここで最後の等号は (2) と }I_1=\pi\text{ による。}\\\text{(4) }J_1=\pi\text{ であり，(3) より }J_{k+1}-J_k=\pi\ (k\ge1)\text{ だから }J_n=J_1+\sum\limits _{k=1}^{n-1}\pi=n\pi.$

この問題で使う考え方

三角関数の相互関係
定積分
関数の極限

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