3和歌山県立医科大学 2025年 数学 第3問解答・解説

解と係数の関係から$\alpha+\beta=1,\ \alpha\beta=1$である。したがって$$a_1=\alpha+\beta=1,\qquad a_2=\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=-1.$$

また，$\alpha^2=\alpha-1$および$\beta^2=\beta-1$だから，これらにそれぞれ$\alpha^n,\beta^n$を掛けて足すと$$a_{n+2}=a_{n+1}-a_n.$$

この漸化式から$$a_1=1,\ a_2=-1,\ a_3=-2,\ a_4=-1,\ a_5=1,\ a_6=2,\ a_7=1,\ a_8=-1.$$よって$(a_7,a_8)=(a_1,a_2)$である。各項が直前の2項で定まる漸化式なので，以後6項ごとに同じ値が繰り返される。したがって数列の値は$-2,-1,1,2$である。

6項の並びは$1,-1,-2,-1,1,2$であるから，最大値2は$n=6m\ (m=1,2,\ldots)$，最小値-2は$n=6m+3\ (m=0,1,\ldots)$でとる。