2和歌山県立医科大学 2025年 数学 第2問解答・解説

(1) |a|<1より-1<a<1であり，特にa+1>0である。判別式を$\Delta$とすると$$\Delta=[-4(a+2)]^2-4(a+1)\cdot2(a+1)=8(a^2+6a+7)=8\{(a+1)(a+5)+2\}.$$ここでa+1>0かつa+5>0だから$\Delta>16>0$である。また二次の係数a+1は0でない。したがってこの方程式は異なる2つの実数解をもつ。

(2) 解と係数の関係から$$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{4(a+2)}{a+1}.$$ t=a+1とおくとa$\to$-1+0のときt$\to$0+であり，$\alpha+\beta=4(t+1)/t=4+4/t$である。よって求める極限は$+\infty$である。

(3) t=a+1とおけば$0<t<2$で，方程式は$$tx^2-4(t+1)x+2t=0$$となる。解と係数の関係より根の和は$4(t+1)/t>0$，積は2であるから，2根はともに正である。$\alpha<\beta$より$\alpha<\sqrt2<\beta$。この方程式の根xについて$$\displaystyle t(x^2-4x+2)=4x,\qquad t=\frac{4x}{x^2-4x+2}.$$ t>0かつx>0なので$x^2-4x+2>0$。この二次式の根は$2-\sqrt2,2+\sqrt2$であるから，$0<\alpha<2-\sqrt2$，$\beta>2+\sqrt2$となる。さらにt<2より$$\displaystyle \frac{4x}{x^2-4x+2}<2\quad\text{と同値な条件は}\quad x^2-6x+2>0\quad\text{、すなわち}\quad x<3-\sqrt7\text{ または }x>3+\sqrt7.$$ 小さい根では前者，大きい根では後者しか可能でないため，$0<\alpha<3-\sqrt7$，$\beta>3+\sqrt7$を得る。逆に，$0<x<3-\sqrt7$または$x>3+\sqrt7$なら$x^2-4x+2>0$かつ$x^2-6x+2>0$である。そこで$t=4x/(x^2-4x+2)$と定めると$0<t<2$となり，xは上の方程式の根となる。前者の範囲ではx<$\sqrt2$なので小さい根，後者の範囲ではx>$\sqrt2$なので大きい根である。したがって示した範囲の全ての値が実際にとりうる。